대우가 참이 되게 하는 상수의 개수

주어진 명제와 그 대우 ‘자연수 $n$에 대하여 $n$이 $3$의 배수가 아니면 $n ^{2} + a$는 $3$의 배수이다.’ 의 참, 거짓은 일치하므로 대우가 참이 되는 $a$를 찾으면 된다. $n$이 $3$의 배수가 아니면 $n = 3 k + 1$ 또는 $n = 3 k + 2$ ($k$는 음이 아닌 정수)이다. $n = 3 k + 1$일 때 $n ^{2} + a = 3 ( 3 k ^{2} + 2 k ) + 1 + a$ $n = 3 k + 2$일 때 $n ^{2} + a = 3 ( 3 k ^{2} + 4 k + 1 ) + 1 + a$ 두 경우 모두 $n ^{2}$을 $3$으로 나눈 나머지가 $1$이므로, $n ^{2} + a$가 항상 $3$의 배수이려면 $1 + a$가 $3$의 배수이어야 한다. 즉 $a$를 $3$으로 나눈 나머지가 $2$이어야 한다. 거꾸로 $a$를 $3$으로 나눈 나머지가 $2$가 아니면 $n = 1$일 때 $n ^{2} + a = 1 + a$가 $3$의 배수가 아니면서 $n = 1$은 $3$의 배수가 아니므로 명제는 거짓이다. 따라서 조건을 만족시키는 $30$ 이하의 자연수 $a$는 $2 , 5 , 8 , \cdots , 29$이고 그 개수는 $10$