대각선으로 나뉜 사각형 넓이의 최솟값

그림에서 $\displaystyle \overline{AO} = a , \overline{BO} = b , \overline{CO} = c$ $\displaystyle \overline{DO} = d$라 하고, $\angle AOB = \theta$라 하면, 주어진 조건에 의하여 $\displaystyle \frac{1}{2} ab \sin \theta = 10 , \frac{1}{2} cd \sin \theta = 90$ 사각형의 면적을 $S$ 라 하면 $\displaystyle S = 100 + \frac{1}{2} ad \sin \theta + \frac{1}{2} bc \sin \theta$ $\displaystyle = 100 + \frac{1}{2} ad \times \frac{20}{ab} + \frac{1}{2} bc \times \frac{180}{cd}$ $\displaystyle = 100 + \frac{10 d}{b} + \frac{90 b}{d}$ $\displaystyle \geq 100 + 2 \sqrt{\frac{10 d}{b} \times \frac{90 b}{d}}$ $= 100 + 60 = 160$ 따라서, $S$의 최솟값은 $160$