대칭식 조건 값

[출제의도] 조건에 맞게 다항식을 세워 식의 값을 구한다. 조건 (가)에서 $( x - 3 ) ( y - 3 ) ( 2 z - 3 ) = 0 \cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 $3 ( x + y + 2 z ) = xy + 2 yz + 2 zx \cdots$㉡ ㉠에서 $( x - 3 ) ( y - 3 ) ( 2 z - 3 )$ $= ( xy - 3 x - 3 y + 9 ) ( 2 z - 3 )$ $= 2 xyz - 6 xz - 6 yz + 18 z - 3 xy + 9 x + 9 y - 27$ $= 2 xyz - 3 ( xy + 2 yz + 2 zx ) + 9 ( x + y + 2 z ) - 27 = 0$ ㉡을 이 식에 대입하면 $2 xyz - 3 ( xy + 2 yz + 2 zx ) + 9 ( x + y + 2 z ) - 27$ $= 2 xyz - 3 \left\{ 3 ( x + y + 2 z ) \right\} + 9 ( x + y + 2 z ) - 27$ $= 2 xyz - 9 ( x + y + 2 z ) + 9 ( x + y + 2 z ) - 27$ $= 2 xyz - 27 = 0$ 그러므로 $\displaystyle xyz = \frac{27}{2}$ 따라서 $10 xyz = 135$ [다른 풀이] $x$, $y$, $2 z$ 중에서 적어도 하나는 $3$이다. (나)의 식에서 $3 ( x + y + 2 z ) = xy + y ( 2 z ) + ( 2 z ) x$이므로 $x = 3$을 조건 (나)의 식에 대입하여 문제를 풀어도 일반성을 잃지 않는다. 그러므로 $x = 3$이라고 가정하면 $3 ( x + y + 2 z ) = 3 ( 3 + y + 2 z )$ $= 9 + 3 y + 6 z$ $xy + 2 yz + 2 zx = 3 y + 2 yz + 6 z$ 이므로 $9 + 3 y + 6 z = 3 y + 2 yz + 6 z$ ∴ $9 = 2 yz$ 따라서 $\displaystyle 10 xyz = 10 \times 3 \times \frac{9}{2}$$= 135$