대칭인 두 유리함수

[출제의도] 분수함수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 두 분수함수 $\displaystyle y = \frac{ax + 1}{2 x - 6}$, $\displaystyle y = \frac{bx + 1}{2 x + 6}$의 그래프가 직선 $y = x$에 대하여 대칭이면 두 함수는 서로 역함수이다. $\displaystyle y = \frac{ax + 1}{2 x - 6}$에서 $x , y$를 서로 바꾸면 $\displaystyle x = \frac{ay + 1}{2 y - 6}$ 이를 정리하면 $x ( 2 y - 6 ) = ay + 1$, $( 2 x - a ) y = 6 x + 1$ ∴ $\displaystyle y = \frac{6 x + 1}{2 x - a}$ 따라서 $\displaystyle y = \frac{ax + 1}{2 x - 6}$의 역함수는 $\displaystyle y = \frac{6 x + 1}{2 x - a}$이다. 이 때, $\displaystyle y = \frac{bx + 1}{2 x + 6}$$\displaystyle = \frac{6 x + 1}{2 x - a}$이어야 하므로 $a = - 6 , b = 6$ ∴ $b - a = 12$ [다른 풀이] 두 분수함수의 그래프가 직선 $y = x$에 대하여 대칭이면 점근선의 교점도 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. $\displaystyle y = \frac{ax + 1}{2 x - 6}$의 점근선은 $\displaystyle x = 3 , y = \frac{a}{2}$이므로 점근선의 교점의 좌표는 $\displaystyle \left( 3 , \frac{a}{2} \right)$이다. $\displaystyle y = \frac{bx + 1}{2 x + 6}$의 점근선은 $\displaystyle x = - 3 , y = \frac{b}{2}$이므로 점근선의 교점의 좌표는 $\displaystyle \left( - 3 , \frac{b}{2} \right)$이다. 이 때, 두 점 $\displaystyle \left( 3 , \frac{a}{2} \right)$, $\displaystyle \left( - 3 , \frac{b}{2} \right)$가 직선 $y = x$에 대하여 대칭이려면 $\displaystyle 3 = \frac{b}{2} , \frac{a}{2} = - 3$이어야 한다. ∴ $a = - 6 , b = 6$ ∴ $b - a = 12$