대칭인 두 원과 접선

삼각형 ${\mathrm{OPQ}}$의 외접원의 중심이 선분 ${\mathrm{PQ}}$ 위에 있으려면 삼각형 ${\mathrm{OPQ}}$는 $\angle {\mathrm{POQ}} = 90 ^\circ$인 직각삼각형이어야 한다.

점 ${\mathrm{Q}}$를 원점 ${\mathrm{O}}$에 대하여 대칭이동한 점을 ${\mathrm{Q}}'$이라 하면 점 ${\mathrm{Q}}'$은 원 $C _{1}$ 위의 점이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = {\overline{{\mathrm{OQ}}'}}$, $\angle {\mathrm{POQ}}' = 180 ^\circ - \angle {\mathrm{POQ}} = 90 ^\circ$ 이므로 두 삼각형 ${\mathrm{OPQ}}$, ${\mathrm{OPQ}}'$은 서로 합동이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{PQ}}'}} = {\overline{\mathrm{PQ}}} = 6$ 또한 원 $C _{1}$은 직각삼각형 ${\mathrm{OPQ}}'$의 외접원이므로 선분 ${\mathrm{PQ}}'$은 원 $C _{1}$의 지름이다. 원 $C _{1}$의 중심의 좌표를 ${\mathrm{A}} \left( a , b \right) \left( a > 0 , b > 0 \right)$이라 하면 원 $C _{1}$이 원점을 지나므로 $\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} = 3$, $a ^{2} + b ^{2} = 9$ $\cdots \cdots$㉠

원 $C _{2}$의 중심을 ${\mathrm{A}}'$이라 하면 점 ${\mathrm{A}}'$은 점 ${\mathrm{A}}$를 원점 ${\mathrm{O}}$에 대하여 대칭이동한 점이므로 점 ${\mathrm{A}}'$의 좌표는 $\left( - a , - b \right)$이다. 원 $C _{2}$의 방정식은 $\left( x + a \right) ^{2} + \left( y + b \right) ^{2} = a ^{2} + b ^{2}$이므로 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표는 $\left( - 2 a , 0 \right)$ 직선 $l$의 기울기는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이고 직선 $l$과 직선 ${\mathrm{BA}}'$이 서로 수직이므로 직선 ${\mathrm{BA}}'$의 기울기는 $- 2$이다. $\displaystyle \frac{- b - 0}{- a - \left( - 2 a \right)} = - \frac{b}{a} = - 2$에서 $b = 2 a$ $\cdots \cdots$㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle a = \frac{3}{5} \sqrt{5}$, $\displaystyle b = \frac{6}{5} \sqrt{5}$ 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{2} \left( x + \frac{6}{5} \sqrt{5} \right)$ 즉, $\displaystyle 5 x - 10 y + 6 \sqrt{5} = 0$ 따라서 점 $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( \frac{3}{5} \sqrt{5} , \frac{6}{5} \sqrt{5} \right)$와 직선 $l$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 3 \sqrt{5} - 12 \sqrt{5} + 6 \sqrt{5} \right|}{\sqrt{5 ^{2} + \left( - 10 \right) ^{2}}} = \frac{3}{5}$