대칭인 두 직선의 교점이 격자점일 조건

실마리: 두 식을 빼면 $\left( a - b \right) \left( x - y \right) = 0$이다. 두 직선이 한 점에서 만나려면 $a \ne b$여야 함을 먼저 확인한다. $a = b$이면 두 직선은 $ax + ay = 12$로 일치하므로 한 점에서 만나지 않는다. 따라서 $a \ne b$ 두 식을 빼면 $\left( a - b \right) x - \left( a - b \right) y = 0$, 즉 $\left( a - b \right) \left( x - y \right) = 0$ $a \ne b$이므로 $x = y$ 첫 식에 대입하면 $\left( a + b \right) x = 12$, $\displaystyle x = y = \frac{12}{a + b}$ 교점의 좌표가 정수이려면 $a + b$가 $12$의 약수여야 한다. $a$, $b$는 서로 다른 자연수이므로 $a + b \geq 3$이고, $a + b$는 $3$, $4$, $6$, $12$ 중 하나이다. $a + b = s$인 자연수의 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $s - 1$개이고, 이 중 $a = b$인 것은 $s$가 짝수일 때 $1$개 있다. $s = 3$: $2$개, $s = 4$: $3 - 1 = 2$개, $s = 6$: $5 - 1 = 4$개, $s = 12$: $11 - 1 = 10$개 (검산: $\left( a , b \right) = \left( 1 , 2 \right)$이면 두 직선 $x + 2 y = 12$, $2 x + y = 12$의 교점은 $\left( 4 , 4 \right)$이다.) 따라서 순서쌍의 개수는 $2 + 2 + 4 + 10 = 18$