대칭이동한 두 영역의 교집합의 넓이

영역 $A$는 $y \geq 4 x ^{2} + 2 px - 9$가 나타내는 영역이고 영역 $B$는 $( - y ) \geq 4 ( - x ) ^{2} + 2 p ( - x ) - 9$ 즉, $y \leq - 4 x ^{2} + 2 px + 9$가 나타내는 영역이다. 따라서 $A \cap B$의 넓이는 두 이차함수 $y = 4 x ^{2} + 2 px - 9$, $y = - 4 x ^{2} + 2 px + 9$ 로 둘러싸인 부분의 넓이이다.

이때, $4 x ^{2} + 2 px - 9$$= - 4 x ^{2} + 2 px + 9$에서 $\displaystyle x = \pm \frac{3}{2}$이므로 구하는 넓이는 $\displaystyle \int _{- \frac{3}{2}} ^{\frac{3}{2}} \left\{ ( - 4 x ^{2} + 2 px + 9 ) - ( 4 x ^{2} + 2 px - 9 ) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{- \frac{3}{2}} ^{\frac{3}{2}} ( - 8 x ^{2} + 18 ) dx$$\displaystyle = 2 \int _{0} ^{\frac{3}{2}} ( - 8 x ^{2} + 18 ) dx$$\displaystyle = 2 \left[ - \frac{8}{3} x ^{3} + 18 x \right] _{0} ^{\frac{3}{2}}$ $= 36$ [참고] $\displaystyle \int _{\alpha} ^{\beta} a ( x - \alpha ) ( x - \beta ) dx$$\displaystyle = - \frac{a}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}$