공통수학2도형의 이동AI기본 문제 (3점 중반)

대칭과 평행이동을 반복한 포물선

문제

좌표평면에서 곡선 $\mathrm{C} _{1}$ 의 방정식은 $y = ( x - 1 ) ^{2} + 2$ 이고, 자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $\mathrm{C} _{n + 1}$ 은 곡선 $\mathrm{C} _{n}$ 을 $y$ 축에 대하여 대칭이동한 후 $y$ 축의 방향으로 $1$ 만큼 평행이동한 곡선이다. 곡선 $\mathrm{C} _{7}$ 의 방정식은? [3점] ① $y = ( x - 1 ) ^{2} + 8$ ② $y = ( x + 1 ) ^{2} + 8$ ③ $y = ( x - 1 ) ^{2} + 7$ ④ $y = ( x + 1 ) ^{2} + 7$ ⑤ $y = ( x - 1 ) ^{2} + 9$

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①

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해설

곡선 $\mathrm{C} _{n}$ 의 꼭짓점을 $( a , b )$ 라 하면 곡선 $\mathrm{C} _{n + 1}$ 의 꼭짓점은 $( - a , b + 1 )$ 이다. $\mathrm{C} _{1}$ 의 꼭짓점이 $( 1 , 2 )$ 이므로 $\mathrm{C} _{2}$ , $\mathrm{C} _{3}$ , $\mathrm{C} _{4}$ , $\cdots$ 의 꼭짓점은 차례로 $( - 1 , 3 )$ , $( 1 , 4 )$ , $( - 1 , 5 )$ , $\cdots$ 즉 꼭짓점의 $x$ 좌표는 $1$ , $- 1$ 이 번갈아 나타나고, $y$ 좌표는 $1$ 씩 커진다. $7$ 은 홀수이므로 $\mathrm{C} _{7}$ 의 꼭짓점의 $x$ 좌표는 $1$ 이고, $y$ 좌표는 $2 + 6 = 8$ 이다. 대칭이동과 평행이동은 포물선의 폭과 볼록한 방향을 바꾸지 않으므로 $\mathrm{C} _{7}$ 의 $x ^{2}$ 의 계수는 $1$ 이다. 따라서 $\mathrm{C} _{7}$ 의 방정식은 $y = ( x - 1 ) ^{2} + 8$ 답 ①

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