미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭 삼차함수 극댓값

문제

최고차항의 계수가 11인 삼차함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킬 때, f(x)f ( x )의 극댓값은? [4점]

(가) 모든 실수 xx에 대하여 f′(2+x)=f′(2−x)f' ( 2 + x ) = f' ( 2 - x )이다. (나) f(3)=−12f ( 3 ) = - 12는 함수 f(x)f ( x )의 극솟값이다.

①−8- 8②−7- 7③−6- 6④−5- 5⑤−4- 4

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①

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 극값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. x=3x = 3에서 극소이므로 f′(3)=0f' ( 3 ) = 0이다. 또한, f′(2+x)=f′(2−x)f' ( 2 + x ) = f' ( 2 - x )에서 x=1x = 1을 대입하면 f′(3)=f′(1)=0f' ( 3 ) = f' ( 1 ) = 0이므로 f(x)f ( x )는 x=1,3x = 1 , 3에서 극값을 적분하여 (나) 조건으로 적분 상수를 결정하면 f(x)=x3−6x2+9x+12f ( x ) = x ^{3} - 6 x ^{2} + 9 x + 12이다. 따라서 f(1)=−8f ( 1 ) = - 8이다.

태그

#삼차함수#극값

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