대칭 사차함수 극댓값

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 수학내적 문제해결하기 사차함수 $f ( x )$는 최고차항의 계수가 $1$이고 함수 $f ( x )$의 그래프가 직선 $x = 2$에 대해 대칭이므로 $f ( x ) = ( x - 2 ) ^{4} + a ( x - 2 ) ^{2} + b$ $f \left( 0 \right) < f \left( 2 \right)$이고 방정식 $f \left( \left| x \right| \right) = 1$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이려면 $f ( x )$가 $x = 0$, $4$에서 극솟값 $1$을 갖고 $x = 2$에서 극댓값을 가져야 한다.

$f \left( 0 \right) = f \left( 4 \right) = 1$에서 $16 + 4 a + b = 1$ $f' \left( x \right) = 4 \left( x - 2 \right) ^{3} + 2 a ( x - 2 )$에서$f' ( 0 ) = f' ( 4 ) = 0$이므로 $- 32 - 4 a = 0$ $a = - 8$, $b = 17$이므로 $f ( x ) = ( x - 2 ) ^{4} - 8 ( x - 2 ) ^{2} + 17$ 따라서 함수 $f \left( x \right)$의 극댓값 $f \left( 2 \right) = 17$