대칭 조건 함수의 성질

$f ( 1 - x ) = 1 - f ( x ) \cdots \cdots \text{㉠}$ $x$에 대하여 미분하면 $f' ( 1 - x ) = f' ( x ) \cdots \cdots \text{㉡}$ ① $x = 0$을 $\text{㉠}$에 대입하면 $f ( 0 ) + f ( 1 ) = 1$ ② $x = 0$을 $\text{㉡}$에 대입하면 $f' ( 0 ) + f' ( 1 )$ ④ $\displaystyle x = \frac{1}{2}$을 $\text{㉠}$에 대입하면 $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$ ③ $\text{㉠}$의 양변을 정적분하면 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( 1 - x )} dx = \int _{0} ^{1} {1} dx - \int _{0} ^{1} {f ( x )} dx$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( 1 - x )} dx = \int _{0} ^{1} {f ( x )} dx$이므로 $\displaystyle \therefore \int _{0} ^{1} {f ( x )} dx = \frac{1}{2}$ [참고] $\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( 1 - x )} dx$에서 $1 - x = t$로 치환하고 $t$에 관하여 미분하면 $- dx = dt$ $\displaystyle \therefore \int _{0} ^{1} {f ( 1 - x )} dx = \int _{0} ^{1} {f ( t )} ( - dt )$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {f ( t )} dt = \int _{0} ^{1} {f ( x )} dx$ [별해] 주어진 함수는 점 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)$에 대하여 대칭인 연속함수 이다. ① $x = 0$을 대입하면 $f ( 1 - 0 ) = 1 - f ( 0 )$ $\therefore f ( 1 ) + f ( 0 ) = 1$ ② $- f' ( 1 - x ) = - f' ( x ) , f' ( 1 - 0 ) = - f' ( 0 )$ $\therefore f' ( 1 ) = f' ( 0 )$ ③ $\displaystyle \int _{0} ^{1} {} f ( x ) dx = ( f ( 0 ) + f ( 1 ) ) \times 1 \times \frac{1}{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$ ④ $\displaystyle f \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = 1 - f \left( \frac{1}{2} \right)$ $\displaystyle \rightarrow 2 f \left( \frac{1}{2} \right) = 1$ $\displaystyle \therefore f \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$ ⑤ $f ( 0 ) = 0$이라고 반드시 말할 수는 없다.