대칭 함수 미분가능

[출제의도] 함수의 대칭성을 이용하여 미분가능성 문제를 해결한다. 다항함수 $f ( x )$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 직선 $x = k$에 대하여 대칭인 함수 $g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 $x = k$에서 미분가능하면 된다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k - 0} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{x - k}} = \lim\limits _{x \rightarrow k - 0} {\frac{f ( 2 k - x ) - f ( k )}{x - k}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k - 0} {\left[ \frac{\left\{ ( 2 k - x ) ^{3} - ( 2 k - x ) ^{2} - 9 ( 2 k - x ) + 1 \right\}}{x - k} \right.}$ $\displaystyle \left. - \frac{( k ^{3} - k ^{2} - 9 k + 1 )}{x - k} \right]$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k - 0} {\left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} ( k - x ) \end{array} \right.}$$\displaystyle \left. \times \frac{\left\{ ( 2 k - x ) ^{2} + k ( 2 k - x ) + k ^{2} - ( 3 k - x ) - 9 \right\}}{x - k} \right]$ $= - 3 k ^{2} + 2 k + 9$ 또, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k + 0} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{x - k}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k + 0} {\frac{f ( x ) - f ( k )}{x - k}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k + 0} {\frac{( x ^{3} - x ^{2} - 9 x + 1 ) - ( k ^{3} - k ^{2} - 9 k + 1 )}{x - k}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k + 0} {\frac{( x - k ) \left\{ x ^{2} + kx + k ^{2} - ( x + k ) - 9 \right\}}{x - k}}$ $= 3 k ^{2} - 2 k - 9$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k - 0} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{x - k}} = \lim\limits _{x \rightarrow k + 0} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{x - k}}$ 이므로 $- 3 k ^{2} + 2 k + 9 = 3 k ^{2} - 2 k - 9$ $3 k ^{2} - 2 k - 9 = 0$ 그러므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 모든 실수 $k$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{2}{3}$이다. 따라서 $p = 3$, $q = 2$이므로 $p ^{2} + q ^{2} = 13$이다. [참고] 함수 $y = f ( 2 k - x )$의 그래프는 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $x = k$에 대하여 대칭이다. 따라서 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 $x = k$에 대하여 대칭이고, 함수 $y = g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 $f' ( k ) = 0$이어야 한다.