대칭 함수 적분 수열

조건 (가), (나)에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 $y$축과 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이다. 따라서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음 그림과 같이 $2$를 주기로 같은 모양이 반복된다.

∴ $\displaystyle \int _{-n} ^{n} f ( x ) dx$ $\displaystyle = n \times \int _{-1} ^{1} ( x ^{2} + 1 ) dx$$\displaystyle = 2 n \times \int _{0} ^{1} ( x ^{2} + 1 ) dx$ $\displaystyle = 2 n \times \left[ \frac{x ^{3}}{3} + x \right] _{0} ^{1}$$\displaystyle = \frac{8}{3} n$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} k a _{k} = \frac{8}{3} n$ 따라서 $n \geq 2$일 때, $n a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{n} k a _{k} - \sum\limits _{k=1} ^{n-1} k a _{k}$$\displaystyle = \frac{8}{3}$ ∴ $\displaystyle a _{7} = \frac{1}{7} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{21}$ ∴ $p = 21$, $q = 8$ ∴ $p + q = 29$