대수삼각함수AI기본 문제 (3점 중반)

cos²x를 sin x로 바꾸어 푸는 삼각부등식

문제

$0 \leq x < 2 \pi$ 일 때, 부등식 $2 \cos ^{2} x + 3 \sin x - 3 < 0$ 을 만족시키는 $x$ 의 값의 범위는? [3점] ① $\displaystyle \frac{\pi}{6} < x < \frac{5}{6} \pi$ ② $\displaystyle 0 \leq x < \frac{\pi}{6}$ 또는 $\displaystyle \frac{5}{6} \pi < x < 2 \pi$ ③ $\displaystyle \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5}{6} \pi$ ④ $\displaystyle 0 \leq x < \frac{\pi}{3}$ 또는 $\displaystyle \frac{5}{3} \pi < x < 2 \pi$ ⑤ $\displaystyle \frac{\pi}{3} < x < \frac{5}{3} \pi$

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②

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해설

$\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$ 이므로 $2 ( 1 - \sin ^{2} x ) + 3 \sin x - 3 < 0$ $2 \sin ^{2} x - 3 \sin x + 1 > 0$ $\sin x = t$ $( - 1 \leq t \leq 1 )$ 라 하면 $( 2 t - 1 ) ( t - 1 ) > 0$ $\displaystyle t < \frac{1}{2}$ 또는 $t > 1$ 인데 $t \leq 1$ 이므로 $\displaystyle t < \frac{1}{2}$ 즉 $\displaystyle \sin x < \frac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle 0 \leq x < \frac{\pi}{6}$ 또는 $\displaystyle \frac{5}{6} \pi < x < 2 \pi$ 답 ②

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