미적분Ⅱ여러 가지 적분법AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

cos 2x/cos²x의 부정적분

문제

함수 f(x)f ( x )의 도함수가 f′(x)=cos⁡2xcos⁡2x\displaystyle f' ( x ) = \frac{\cos 2 x}{\cos ^{2} x}이고 f(0)=0f ( 0 ) = 0일 때, f(π4)\displaystyle f \left( \frac{\pi}{4} \right)의 값은? [3점] ①π2−1\displaystyle \frac{\pi}{2} - 1②π2\displaystyle \frac{\pi}{2}③π4−1\displaystyle \frac{\pi}{4} - 1④π4\displaystyle \frac{\pi}{4}⑤1−π2\displaystyle 1 - \frac{\pi}{2}

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①

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해설

cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2 x = 2 \cos ^{2} x - 1이므로 cos⁡2xcos⁡2x=2cos⁡2x−1cos⁡2x=2−sec⁡2x\displaystyle \frac{\cos 2 x}{\cos ^{2} x} = \frac{2 \cos ^{2} x - 1}{\cos ^{2} x} = 2 - \sec ^{2} x f(x)=∫(2−sec⁡2x)dx=2x−tan⁡x+C\displaystyle f ( x ) = \int ( 2 - \sec ^{2} x ) dx = 2 x - \tan x + C (CC는 적분상수) f(0)=0−0+C=0f ( 0 ) = 0 - 0 + C = 0에서 C=0C = 0 f(x)=2x−tan⁡xf ( x ) = 2 x - \tan x 따라서 f(π4)=π2−1\displaystyle f \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} - 1 ①

태그

#삼각함수의 적분#부정적분#배각공식

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