초점을 공유하는 타원과 쌍곡선

[출제의도] 쌍곡선의 정의를 이용하여 추론하기 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$$= 1$의 주축의 길이가 $4$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}} - {\overline{\mathrm{PF}}}$$= 4$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}}$$= 7$ 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{7}$$= 1$의 장축의 길이가 $2 \left| a \right|$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}} + {\overline{\mathrm{PF}}}$$= 7 + 3$$= 2 \left| a \right|$에서 $a ^{2}$$= 25$ 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{7}$$= 1$에서 $c ^{2}$$= 25 - 7$$= 18$ 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$$= 1$에서 $4 + b ^{2}$$= c ^{2}$$= 18$, $b ^{2}$$= 14$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2}$$= 25 + 14$$= 39$