초점 지나는 현

$\mathrm{F} ( 2 , 0 )$이므로 직선 $l$의 방정식은 $y = m ( x - 2 )$ 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하면 $\alpha$, $\beta$는 직선 $y = m ( x - 2 )$과 포물선 $y ^{2} = 8 x$와의 교점의 $x$좌표이므로 방정식 $m ^{2} ( x - 2 ) ^{2} = 8 x$의 두 근이다. 또한, 포물선의 준선의 방정식이 $x = - 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}}$$= \alpha + 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} = \beta + 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AF}} + \overline{BF}$$= \alpha + \beta + 4$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 14$에서 $\alpha + \beta + 4 = 14$ ∴ $\alpha + \beta = 10$ ⋯⋯ ㉠

$m ^{2} ( x - 2 ) ^{2} = 8 x$에서 $m ^{2} x ^{2} - 4 ( m ^{2} + 2 ) x + 4 m ^{2} = 0$ 위의 이차방정식의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 근과 계수와의 관계에 의하여 $\alpha + \beta$$\displaystyle = \frac{4 ( m ^{2} + 2 )}{m ^{2}}$ ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \frac{4 ( m ^{2} + 2 )}{m ^{2}} = 10$, $\displaystyle m ^{2} = \frac{4}{3}$ ∴ $\displaystyle m = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ (∵ $m > 0$)