공통수학1이차방정식과 이차함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

최솟값 조건으로 상수 구하기

문제

함수 y=(x2+2x)2+2a(x2+2x)+5y = ( x ^{2} + 2 x ) ^{2} + 2 a ( x ^{2} + 2 x ) + 5의 최솟값이 11이 되도록 하는 모든 상수 aa의 값의 합은? [4점] ①−2- 2②−12\displaystyle - \frac{1}{2}③00④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

x2+2x=tx ^{2} + 2 x = t라 하면 t=(x+1)2−1≥−1t = ( x + 1 ) ^{2} - 1 \geq - 1 y=t2+2at+5=(t+a)2−a2+5y = t ^{2} + 2 at + 5 = ( t + a ) ^{2} - a ^{2} + 5 (i) −a≥−1- a \geq - 1, 즉 a≤1a \leq 1일 때 t=−at = - a에서 최솟값 −a2+5=1- a ^{2} + 5 = 1이므로 a2=4a ^{2} = 4 a≤1a \leq 1이므로 a=−2a = - 2 (ii) −a←1- a \leftarrow 1, 즉 a>1a > 1일 때 t≥−1t \geq - 1에서 yy는 증가하므로 t=−1t = - 1에서 최솟값을 갖는다. (a−1)2−a2+5=−2a+6=1( a - 1 ) ^{2} - a ^{2} + 5 = - 2 a + 6 = 1이므로 a=52\displaystyle a = \frac{5}{2} a>1a > 1이므로 조건을 만족시킨다. 따라서 모든 aa의 값의 합은 −2+52=12\displaystyle - 2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} ④

태그

#치환#경우 나누기#최솟값 조건

비슷한 문제 더 보기

공통수학1 문제 모음공통수학1 이차방정식과 이차함수 문제 모음내신 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로