최솟값 함수와 직선 교점

[출제의도] 이차함수의 그래프 및 ‘어떤’이 포함된 명제와 관련된 문제를 해결한다. $f ( x )$$= x ^{2} - 2 x + 6$$= \left( x - 1 \right) ^{2} + 5$ 이므로 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이다. 한편, $\displaystyle \mathit{-} \left| x - t \right| + 11 = {\begin{cases} x - t + 11 _{} & & \left( x < t \right) _{} \\ - x + t + 11 ^{} & & \left( x \geq t \right) ^{} \end{cases}}$ 이므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 직선 $x = t$에 대하여 대칭이다. 따라서 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같이 세 가지로 나타난다. (ⅰ) 두 함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프가 만나지 않거나 한 점에서만 만날 때,

함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값은 존재하지 않는다. (ⅱ) 두 함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프의 두 교점의 $x$좌표가 $\alpha$, $\beta$($\alpha < \beta \leq 1$ 또는 $1 {\leq} \alpha < \beta$)일 때,

함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값은 존재하지 않는다. (ⅲ) 두 함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프의 두 교점의 $x$좌표가 $\alpha$, $\beta$($\alpha < 1 < \beta$)일 때, ① $f ( \alpha ) = f ( \beta )$, 즉 $t = 1$일 때,

두 교점은 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이다. 이때 $\beta$의 값을 구하면 $x ^{2} - 2 x + 6 = \mathit{-} x + 12$ $x ^{2} - x - 6 = 0$ $\left( x + 2 \right) \left( x - 3 \right) = 0$ $x = \mathit{-} 2$ 또는 $x = 3$ $\beta > 1$이므로 $\beta = 3$ $g \left( 3 \right) = \mathit{-} \left| 3 - 1 \right| + 11 = 9$ 따라서 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값은 $5$뿐이다. ② $f \left( \alpha \right) > f \left( \beta \right)$일 때,

함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값은 $5$와 $f \left( \beta \right)$$\left( 5 < f \left( \beta \right) < 9 \right)$이다. ③ $f \left( \alpha \right) < f \left( \beta \right)$일 때,

함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값은 $5$와 $f \left( \alpha \right)$$\left( 5 < f \left( \alpha \right) < 9 \right)$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 명제 ‘어떤 실수 $t$에 대하여 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$는 서로 다른 세 점에서 만난다.’ 가 참이 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위는 $5 \leq k < 9$ 따라서 자연수 $k$의 값은 $5$, $6$, $7$, $8$이므로 그 합은 $5 + 6 + 7 + 8 = 26$