최솟값 함수 적분

[출제의도] 삼각함수의 성질과 정적분을 이용하여 문제를 해결한다. 부등식 $f ( x ) {\leq} f ( t )$를 만족시키는 $x$의 범위는 곡선 $y = f ( x )$가 직선 $y = f ( t )$와 만나거나 아래쪽에 그려지는 실수 $x$의 범위와 같다. 따라서 직선 $y = f ( t )$와 곡선 $y = f ( x )$가 만나는 점의 $x$좌표 중 가장 작은 값이 $g ( t )$이다.

(ⅰ) $\displaystyle t {\leq} - \frac{\pi}{2}$일 때 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표가 $t$일 때, 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 $x$좌표가 가장 작은 점은 $\mathrm{A}$이다. 따라서 $g ( t ) = t$이다. (ⅱ) $\displaystyle - \frac{\pi}{2} < t {\leq \mathit{0}}$일 때 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표가 $t$일 때, 점 $\mathrm{B}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 $x$좌표가 가장 작은 점은 $\mathrm{B}'$이다. 따라서 점 $\mathrm{B}'$의 $x$좌표가 $g ( t )$이다. 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}'$은 직선 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{\pi}{2}$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \frac{t + g ( t )}{2} = \mathit{-} \frac{\pi}{2}$에서 $g ( t ) = \mathit{-} t - \pi$이다. (ⅲ) $0 < t {\leq} \mathit{\pi}$일 때 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표가 $t$일 때, 점 $\mathrm{C}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 $x$좌표가 가장 작은 점은 $\mathrm{C}'$이다. 따라서 점 $\mathrm{C}'$의 $x$좌표가 $g ( t )$이다. 점 $\mathrm{C}$는 곡선 $y = \sin x$ 위의 점이고 점 $\mathrm{C}'$은 직선 $y = \mathit{-} x - \pi$ 위의 점이므로 $\sin t = \mathit{-} g ( t ) - \pi$에서 $g ( t ) = \mathit{-} \sin t - \pi$이다. (ⅳ) $\pi < t \leq \mathit{\pi} + 1$일 때 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표가 $t$일 때, 점 $\mathrm{D}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 $x$좌표가 가장 작은 점은 $\mathrm{D}'$이다. 따라서 점 $\mathrm{D}'$의 $x$좌표가 $g ( t )$이다. 점 $\mathrm{D}$는 직선 $y = \mathit{-} x + \pi$ 위의 점이고 점 $\mathrm{D}'$은 곡선 $y = \sin x$ 위의 점이므로 $- t + \pi = \sin g ( t )$이다. 함수 $y = \sin x$$\displaystyle \left( - \pi \leq x \leq - \frac{\pi}{2} \right)$의 역함수를 $h ( x )$라 하면 $g ( t )$$= h ( - t + \pi )$이다. (ⅴ) $t > \mathit{\pi} + 1$일 때 점 $\mathrm{E}$의 $x$좌표가 $t$일 때, 점 $\mathrm{E}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 $x$좌표가 가장 작은 점은 $\mathrm{E}$이다. 따라서 $g ( t ) = t$이다. 함수 $g ( t )$는 $t = \pi + 1$에서 불연속이므로 $\alpha = \pi + 1$이고 그래프는 그림과 같다.

$\displaystyle \int _{- \pi} ^{\pi} {} g ( t ) dt$ $\displaystyle = \left[ \frac{t ^{2}}{2} \right] _{- \pi} ^{- \frac{\pi}{2}} + \left[ - \frac{t ^{2}}{2} - \pi t \right] _{- \frac{\pi}{2}} ^{0} + \left[ \begin{array}{l} \cos t - \pi t \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{\pi}$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{7}{4} \pi ^{2} - 2$ 한편 위의 그림에서 $y = \sin t$$\displaystyle \left( - \pi \leq t \leq - \frac{\pi}{2} \right)$ $\xrightarrow[\text{직선} y = t \text{대칭}]{\text{㉠}}$ $y = h ( t )$ $\xrightarrow[y \text{축} \text{대칭}]{\text{㉡}}$ $y = h ( - t )$ $\xrightarrow[\text{평행이동}]{\text{㉢}}$ $y = h ( - t + \pi )$ 이므로 $\displaystyle \int _{\pi} ^{\alpha} {} g ( t ) dt$$= \mathit{-} ($빗금 친 부분의 넓이$)$ $\displaystyle = \mathit{-} \left( 1 \times \frac{\pi}{2} + \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {} \sin t dt \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2} \pi - 1$ 따라서 $\displaystyle \int _{- \pi} ^{\alpha} {} g ( t ) dt$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{7}{4} \pi ^{2} - \frac{1}{2} \pi - 3$ $\displaystyle p = \mathit{-} \frac{1}{2}$, $q = \mathit{-} 3$이므로 $100 \times \left| p + q \right|$$= 350$