최소 차수 다항식 빈칸

[출제의도] 항등식을 이용하여 다항식을 구하는 과정 추론하기 $x ^{3} + 2 x - 1 = 0$의 서로 다른 세 근이 모두 방정식 $( x ^{2} + x + 1 ) P ( x ) = 1$의 근이므로 $( x ^{2} + x + 1 ) P ( x ) - 1 = ( x ^{3} + 2 x - 1 ) Q ( x )$ 인 다항식 $Q ( x )$가 존재한다. 즉, $( x ^{2} + x + 1 ) P ( x ) = ( x ^{3} + 2 x - 1 ) Q ( x ) + 1$이다. 그런데, $x ^{3} + 2 x - 1$을 $x ^{2} + x + 1$로 나눈 몫과 나머지는 각각 $x - 1$, $\square {2 x}$이므로 $( x ^{2} + x + 1 ) P ( x )$$= ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 ) Q ( x ) + \square {2 x} Q ( x ) + 1$$\cdots \text{㉠}$ 이다. 등식 ㉠을 만족하는 다항식 $P ( x )$의 차수가 최소가 되기 위해서는 $Q ( x )$가 다항식이므로 $\square {2 x} Q ( x ) + 1$$= x ^{2} + x + 1$ 이어야 한다. 따라서 $\displaystyle Q ( x ) = \square {\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}}$이다. 그러므로 구하고자 하는 다항식 $\displaystyle P ( x ) = \square {\frac{1}{2} x ^{2} + \frac{1}{2}}$이다. $\displaystyle f ( x ) = 2 x , g ( x ) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} , h ( x ) = \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{1}{2}$이므로 $f ( 1 ) + g ( 3 ) + h ( 5 ) = 17$