최댓값 조건으로 정한 넓이

$\displaystyle f ( x ) = \int _{0} ^{x} {( a - t ) e ^{t} dt}$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f' ( x ) = ( a - x ) e ^{x}$ $f' ( x ) = 0$ 에서 $x = a$이므로 $f ( x )$는 $x = a$에서 최댓값을 갖는다 $\displaystyle f ( a ) = \int _{0} ^{a} {( a - t ) e ^{t} dt = \left[ ( a - t ) e ^{t} \right] _{0} ^{a} - \int _{0} ^{a} {( - e ^{t} ) dt}}$ $= - a - \left[ - e ^{t} \right] _{0} ^{a} = - a - ( - e ^{a} + 1 )$ $e ^{a} - a - 1 = 32$ $\cdots \cdots ( \text{ㄱ} )$

따라서, 구하는 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{a} {( 3 e ^{x} - 3 ) dx = \left[ 3 e ^{x} - 3 x \right] _{0} ^{a} = 3 e ^{a} - 3 a - 3}$ $= 3 ( e ^{a} - a - 1 ) = 96 ( \because ( \text{ㄱ} ) )$