공통수학1이차방정식과 이차함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

최댓값 조건에서 최솟값 구하기

문제

−1≤x≤2- 1 \leq x \leq 2에서 함수 y=−(x2−2x+3)2+4(x2−2x+3)+ky = - ( x ^{2} - 2 x + 3 ) ^{2} + 4 ( x ^{2} - 2 x + 3 ) + k의 최댓값이 77일 때, 이 함수의 최솟값을 구하시오. (단, kk는 상수이다.) [4점]

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-9

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해설

x2−2x+3=tx ^{2} - 2 x + 3 = t라 하면 t=(x−1)2+2t = ( x - 1 ) ^{2} + 2 −1≤x≤2- 1 \leq x \leq 2에서 x=1x = 1일 때 t=2t = 2, x=−1x = - 1일 때 t=6t = 6이므로 2≤t≤62 \leq t \leq 6 y=−t2+4t+k=−(t−2)2+k+4y = - t ^{2} + 4 t + k = - ( t - 2 ) ^{2} + k + 4 2≤t≤62 \leq t \leq 6에서 t=2t = 2일 때 최댓값 k+4=7k + 4 = 7이므로 k=3k = 3 t=6t = 6일 때 최솟값은 −16+3+4=−9- 16 + 3 + 4 = - 9 따라서 최솟값은 −9- 9이다.

태그

#치환#제한된 범위#최댓값 조건

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