최댓값 함수의 불연속

[출제의도] 함수의 미분법을 이용하여 함수의 연속성에 대한 문제를 해결한다. 함수 $f ( x ) = x ^{2} e ^{ax} ( a < 0 )$에서 $f' ( x ) = ( x ^{2} )' e ^{ax} + x ^{2} ( e ^{ax} )'$$\displaystyle = 2 x e ^{ax} + ax ^{2} e ^{ax} = ( ax ^{2} + 2 x ) e ^{ax} = a x \left( x + \frac{2}{a} \right) e ^{ax}$ $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 극솟값 $0$를 갖고 $\displaystyle x = - \frac{2}{a}$에서 극댓값 $\displaystyle \frac{4}{a ^{2} e ^{2}}$를 갖는다. 또 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {f ( x )} = \infty$이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {f ( x )} = 0$이므로 함수 $f ( x ) = x ^{2} e ^{ax} ( a < 0 )$의 그래프는 그림과 같다.

부등식 $f ( x ) \geq t$$( t > 0 )$을 만족시키는 $x$의 최댓값 $g ( t )$에 대하여 $\displaystyle k = \frac{4}{a ^{2} e ^{2}}$라 하면, $g ( t )$는 $0 < t < k$ 또는 $t = k$ 또는 $t > k$로 나누어 생각할 수 있다. ⅰ) $0 < t < k$일 때 방정식 $f ( x ) = t$의 서로 다른 세 실근을 $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$라 하면 부등식 $f ( x ) \geq t$의 해는 그림에서 $x \leq \alpha _{1}$ 또는 $\alpha _{2} \leq x \leq \alpha _{3}$이므로 부등식을 만족시키는 $x$의 최댓값은 $\alpha _{3}$이다. 따라서 $g ( t ) = \alpha _{3}$이다. ⅱ) $t = k$일 때 방정식 $f ( x ) = t$의 음의 실근을 $\beta$라 하면 부등식 $f ( x ) \geq t$의 해는 $x \leq \beta$ 또는 $\displaystyle x = - \frac{2}{a}$이므로 $\displaystyle g ( t ) = - \frac{2}{a}$이다. ⅲ) $t > k$일 때 방정식 $f ( x ) = t$의 실근을 $\gamma$라 하면 부등식 $f ( x ) \geq t$의 해는 $x \leq \gamma$이므로 $g ( t ) = \gamma$이다. 정의역이 $\displaystyle \left\{ x | x < \beta , x \geq - \frac{2}{a} \right\}$인 함수 $h ( x )$를 $\displaystyle h ( x ) = \begin{cases} h _{1} ( x ) = f ( x ) & ( x < \beta ) \\ h _{2} ( x ) = f ( x ) & \left( x \geq - \frac{2}{a} \right) \end{cases}$ 라 정의하면, 두 함수 $y = h _{1} ( x )$와 $y = h _{2} ( x )$는 각각의 정의역에서 일대일 대응이므로 역함수를 갖는다. 또한, $y = h _{1} ( x )$의 치역은 $\left\{ y | y > k \right\}$이고, $y = h _{2} ( x )$의 치역은 $\left\{ y | 0 < y \leq k \right\}$이므로 함수 $h ( x )$의 역함수의 정의역은 $\left\{ x | x > 0 \right\}$이다. 이때, $h ( x ) = t$를 만족하는 $x$의 값은 방정식 $f ( x ) = t$의 해 중에서 최댓값이므로 $h ( x )$의 역함수가 $g ( t )$이다. $g ( t )$는 $0 < t < k$, $t > k$인 모든 점에서 연속함수이므로 $t = k$에서의 연속성을 조사하면 된다. $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow k -} {g ( t )} = - \frac{2}{a}$에서 $a < 0$이므로 $\displaystyle - \frac{2}{a} > 0$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow k +} {g ( t )} = \beta$에서 $\beta < 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow k -} {g ( t )} \ne \lim\limits _{t \rightarrow k +} {g ( t )}$이다. 따라서 함수 $g ( t )$는 $t = k$에서만 불연속이다. $\displaystyle k = \frac{4}{a ^{2} e ^{2}} = \frac{16}{e ^{2}}$, $\displaystyle \frac{4}{a ^{2}} = 16$, $\displaystyle a ^{2} = \frac{1}{4}$ 따라서 $\displaystyle 100 a ^{2} = 100 \times \frac{1}{4} = 25$