최댓값 함수 보기

[출제의도] 도함수를 이용하여 추론하기 ㄱ. $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 3 t ^{2} = 3 \left( x + t \right) \left( x - t \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = \mathit{-} t$ 또는 $x = t$ 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

$t = 2$일 때, 닫힌구간 $\left[ - 2 , 1 \right]$에서 두 함수 $f \left( x \right)$, $\left| f \left( x \right) \right|$의 최댓값은 모두 $f \left( - 2 \right) = 16$이므로 $M _{1} \left( 2 \right) = M _{2} \left( 2 \right) = 16$ $g \left( 2 \right) = 32$ (참) ㄴ. 방정식 $f \left( x \right) = 2 t ^{3}$에서 $\left( x + t \right) ^{2} \left( x - 2 t \right) = 0$, 방정식 $f \left( x \right) = \mathit{-} 2 t ^{3}$에서 $\left( x - t \right) ^{2} \left( x + 2 t \right) = 0$이므로 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) $- t < \mathit{-} 2$, $1 < t$일 때 $t > 2$이고, $M _{1} \left( t \right) = M _{2} \left( t \right) = f \left( - 2 \right) < f \left( - t \right)$ 이므로 $g \left( t \right) = 2 f \left( - 2 \right) \ne 2 f \left( - t \right)$ (ⅱ) $- 2 t \leq - 2 \leq - t$, $1 \leq t$일 때 $1 \leq t \leq 2$이고, $M _{1} \left( t \right) = M _{2} \left( t \right) = f \left( - t \right)$ 이므로 $g \left( t \right) = 2 f \left( - t \right)$ (ⅲ) $- 2 < \mathit{-} 2 t$, $t < 1 \leq 2 t$일 때 $\displaystyle \frac{1}{2} \leq t < 1$이고, $M _{1} \left( t \right) = f \left( - t \right)$, $M _{2} \left( t \right) = \mathit{-} f \left( - 2 \right) > f \left( - t \right)$ 이므로 $g \left( t \right) = f \left( - t \right) - f \left( - 2 \right) \ne 2 f \left( - t \right)$ (ⅳ) $- 2 < \mathit{-} 2 t$, $2 t < 1$일 때 $\displaystyle 0 < t < \frac{1}{2}$이고, $M _{1} \left( t \right) = f \left( 1 \right) > f \left( - t \right)$, $M _{2} \left( t \right) = \mathit{-} f \left( - 2 \right) > f \left( - t \right)$ 이므로 $g \left( t \right) = f \left( 1 \right) - f \left( - 2 \right) \ne 2 f \left( - t \right)$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 $g \left( t \right) = 2 f \left( - t \right)$를 만족시키는 $t$의 최댓값과 최솟값의 합은 $2 + 1 = 3$ (참) ㄷ. (ⅰ) $\displaystyle \frac{1}{2} \leq t < 1$일 때 $g \left( t \right) = f \left( - t \right) - f \left( - 2 \right) = 2 t ^{3} - 6 t ^{2} + 8$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{g \left( \frac{1}{2} + h \right) - g \left( \frac{1}{2} \right)}{h}}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\left( 2 h ^{2} - 3 h - \frac{9}{2} \right)}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{9}{2}$ (ⅱ) $\displaystyle 0 < t < \frac{1}{2}$일 때 $g \left( t \right) = f \left( 1 \right) - f \left( - 2 \right) = \mathit{-} 9 t ^{2} + 9$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{g \left( \frac{1}{2} + h \right) - g \left( \frac{1}{2} \right)}{h}}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\left( - 9 h - 9 \right)} = \mathit{-} 9$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{g \left( \frac{1}{2} + h \right) - g \left( \frac{1}{2} \right)}{h}} - \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{g \left( \frac{1}{2} + h \right) - g \left( \frac{1}{2} \right)}{h}}$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{9}{2} - \left( - 9 \right) = \frac{9}{2}$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ