최댓값 기댓값 빈칸

[출제의도] 이산확률변수의 기댓값을 구할 수 있는가? 자연수 $k ( 4 \leq k \leq n )$에 대하여 확률변수 $X$의 값이 $k$일 확률은 $1$부터 $k - 1$까지의 자연수가 적혀 있는 카드중에서 서로 다른 $3$장의 카드와 $k$가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( X = k \right)} = \frac{\square {{} _{k - 1} C _{3}}}{{} _{n} C _{4}}$ 이다. 자연수 $r ( 1 \leq k \leq k )$에 대하여 $\displaystyle {} _{k} C _{r} = \frac{k}{r} \times _{k - 1} C _{r - 1}$ 이므로 $\displaystyle k \times _{k - 1} C _{3} = k \times \frac{k - 1}{3} \times _{k - 2} C _{2}$ $\displaystyle = 4 \times \frac{k \left( k - 1 \right)}{12} \times _{k - 2} C _{2}$ $\displaystyle = 4 \times \frac{k \left( k - 1 \right)}{4 \times 3} \times \frac{\left( k - 2 \right) !}{\left( k - 4 \right) ! 2 !}$ $\displaystyle = 4 \times \frac{k !}{\left( k - 4 \right) ! 4 !}$ $= 4 \times \square {{}_{k} C _{4}}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{E} \mathit{\left( X \right)} = \sum\limits _{k = 4} ^{n} \left\{ k \times \mathrm{P} \mathit{\left( X = k \right)} \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{{} _{n} C _{4}} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( k \times _{k - 1} C _{3} \right)$ $\displaystyle = \frac{4}{{} _{n} C _{4}} \sum\limits _{k = 4} ^{n} {}_{k} C _{4}$ 이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \square {{}_{k} C _{4}} = _{n + 1} C _{5}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{E} \mathit{\left( X \right)} = \frac{4}{{} _{n} C _{4}} \times _{n + 1} C _{5}$ $\displaystyle = \frac{4}{\frac{n !}{\left( n - 4 \right) ! 4 !}} \times \frac{\left( n + 1 \right) !}{\left( n - 4 \right) ! 5 !}$ $\displaystyle = \left( n + 1 \right) \times \square {\frac{4}{5}}$ 즉, $f \left( k \right) = _{k - 1} C _{3}$, $g \left( k \right) = _{k} C _{4}$, $\displaystyle a = \frac{4}{5}$이므로 $\displaystyle a \times f \left( 6 \right) \times g \left( 5 \right) = \frac{4}{5} \times _{5} C _{3} \times _{5} C _{4}$$\displaystyle = \frac{4}{5} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 5 = 40$