최댓값 최솟값 차 기댓값

[출제의도] 확률변수의 평균을 구하는 과정 추론하기 세 수 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$을 순서쌍 $( x _{1} , x _{2} , x _{3} )$과 같이 나타내자. $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$ 중에서 최댓값을 $p$, 최솟값을 $q$, 나머지 수를 $r$, $p - q = k$ $( k = 0 , 1 , \cdots , 5 )$라 하면 순서쌍 $( x _{1} , x _{2} , x _{3} )$의 개수는 $p$, $q$, $r$를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다. ⑴ $k = 0$일 때 세 수가 모두 같으므로 순서쌍 $( x _{1} , x _{2} , x _{3} )$의 개수는 ${\square {6}}$이고, $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} \mathit{X} = 0 ) = \frac{1}{6 ^{3}} \times {\square {6}}$ ⑵ $k \neq 0$일 때 $( 1 \leq k \leq 5 )$ 순서쌍 $( p , q )$의 개수는 각각의 $k$에 대하여 $6 - k$이고 ⅰ) $k = 1$일 때 순서쌍 $( x _{1} , x _{2} , x _{3} )$의 개수는 $\displaystyle 5 \times \left( \frac{3 !}{2 !} + \frac{3 !}{2 !} \right)$ ⅱ) $2 \leq k \leq 5$일 때 ① $r = p$ 또는 $r = q$인 경우 $p$, $p$, $q$와 $p$, $q$, $q$를 일렬로 나열하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} + \frac{3 !}{2 !}$ ② $r \ne p$이고 $r \ne q$인 경우 $r$의 개수는 각각의 $k$에 대하여 $k - 1$이고 $p$, $r$, $q$를 일렬로 나열하는 방법의 수는 ${} _{3} \mathrm{P} _{3} = 3 !$이므로 $( k - 1 ) \times 3 !$ ①, ②에 의하여 순서쌍 $( x _{1} , x _{2} , x _{3} )$의 개수는 $\displaystyle ( 6 - k ) \times \left\{ \frac{3 !}{2 !} + \frac{3 !}{2 !} + \left( k - 1 \right) \times 3 ! \right\}$ 그러므로 $1 \leq k \leq 5$일 때, 순서쌍 $( x _{1} , x _{2} , x _{3} )$의 개수는 $\displaystyle ( 6 - k ) \times \left\{ \frac{3 !}{2 !} + \frac{3 !}{2 !} + \left( {\square {k - 1}} \right) \times 3 ! \right\}$ (예를 들어) $k = 3$인 경우 $( p , r , q )$는 $( 4 , r , 1 )$, $( 5 , r , 2 )$, $( 6 , r , 3 )$이므로 개수는 $3$ $( p , r , q )$가 $( 4 , r , 1 )$일 때 ① $r = 4$ 또는 $r = 1$인 경우 $4$, $4$, $1$과 $4$, $1$, $1$을 일렬로 나열하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} + \frac{3 !}{2 !}$ ② $r \ne 4$이고 $r \ne 1$인 경우 $r$는 $3$ 또는 $2$이므로 $r$의 개수는 $2$ $p$, $r$, $q$를 일렬로 나열하는 방법의 수는 ${} _{3} \mathrm{P} _{3} = 3 !$이므로 $2 \times 3 !$ ①, ②에 의하여 $4$, $r$, $1$을 일렬로 나열하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} + \frac{3 !}{2 !} + 2 \times 3 !$ $( 5 , r , 2 )$, $( 6 , r , 3 )$일 때에도 같은 방법으로 구하면 각각 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} + \frac{3 !}{2 !} + 2 \times 3 !$ 그러므로 $k = 3$인 경우 순서쌍 $( x _{1} , x _{2} , x _{3} )$의 개수는 $\displaystyle 3 \times \left( \frac{3 !}{2 !} + \frac{3 !}{2 !} + 2 \times 3 ! \right)$ 그러므로 $\mathrm{P} ( \mathit{X} = k )$$\displaystyle = \frac{1}{6 ^{3}} \times ( 6 - k ) \times \left\{ \frac{3 !}{2 !} + \frac{3 !}{2 !} + \left( {\square {k - 1} )} \times 3 ! \right\} \right.$ ⑴, ⑵에 의하여 확률변수 $X$의 평균 $\mathrm{E} ( \mathit{X} )$는 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{E} ( \mathit{X} ) = \sum\limits _{k = 0} ^{5} \left\{ k \times \mathrm{P} \mathit{(} X = k ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{6 ^{2}} \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left( \square {6 k ^{2} - k ^{3}} \right)$$\displaystyle = \frac{35}{12}$ $a = 6$, $f ( k ) = k - 1$, $g ( k ) = 6 k ^{2} - k ^{3}$ 따라서 $\displaystyle \frac{f ( 5 ) \times g ( 3 )}{a} = \frac{4 \times 27}{6} = 18$