최대최소 조건 함수

[출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기 $f \left( x \right) = e ^{x} \left( ax ^{3} + bx ^{2} \right) = x ^{2} e ^{x} \left( ax + b \right)$ $f' ( x ) = xe ^{x} \left\{ ax ^{2} + ( 3 a + b ) x + 2 b \right\}$ $f \left( 0 \right) = f' \left( 0 \right) = 0$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 그래프는 $x = 0$에서 $x$축에 접하고, 조건 (가)에서 $M \left( t \right) = f \left( t \right)$에 의하여 함수 $f \left( x \right)$는 $x > 0$에서 증가하므로 $a > 0$ 또한 함수 $f \left( x \right)$의 그래프가 $x > 0$에서 $x$축과 만나지 않고 $\displaystyle f \left( - \frac{b}{a} \right) = 0$이므로 $\displaystyle - \frac{b}{a} < 0$ $\therefore$ $b > 0$ $f' ( x ) = xe ^{x} \left\{ ax ^{2} + ( 3 a + b ) x + 2 b \right\}$에서 이차방정식 $ax ^{2} + ( 3 a + b ) x + 2 b = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = ( 3 a + b ) ^{2} - 8 ab = ( a - b ) ^{2} + 8 a ^{2} > 0$이므로 이차방정식은 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta$($\alpha < \beta$)를 갖는다. $\displaystyle \alpha + \beta = \mathit{-} \frac{3 a + b}{a} < 0$, $\displaystyle \alpha \beta = \frac{2 b}{a} > 0$이므로 $\alpha < \beta < 0$이다. $f' ( x ) = 0$에서 $x = \alpha$, $x = \beta$, $x = 0$ 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {f ( x )} = \infty$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {f ( x )} = 0$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle m \left( t \right) = {\begin{cases} 0 & \left( 0 < t < \frac{b}{a} \right) \\ f \left( - t \right) & \left( \frac{b}{a} \leq t \leq \mathit{-} \alpha \right) \\ f \left( \alpha \right) & ( t > \mathit{-} \alpha ) \end{cases}}$

조건 (나)에서 양수 $k$에 대하여 닫힌 구간 $[ k , k + 2 ]$에 있는 임의의 실수 $t$에 대해서만 $m \left( t \right) = f \left( - t \right)$가 성립하므로 $\displaystyle \frac{b}{a} = k$, $- \alpha = k + 2$ $f' \left( \alpha \right) = f' \left( - k - 2 \right) = 0$ $\displaystyle \frac{- k - 2}{e ^{k + 2}} \left\{ a \left( - k - 2 \right) ^{2} + \left( 3 a + ak \right) \left( - k - 2 \right) + 2 ak \right\} = 0$ $\displaystyle \frac{- k - 2}{e ^{k + 2}} \ne 0$이므로 $a \left( - k - 2 \right) ^{2} + \left( 3 a + ak \right) \left( - k - 2 \right) + 2 ak = 0$ $a \left( k - 2 \right) = 0$ $\therefore$ $k = 2$, $\alpha = \mathit{-} 4$ 따라서 $f \left( x \right) = ae ^{x} \left( x ^{3} + 2 x ^{2} \right)$이고, $\displaystyle m \left( t \right) = {\begin{cases} 0 & \left( 0 < t < 2 \right) \\ ae ^{- t} \left( - t ^{3} + 2 t ^{2} \right) & \left( 2 \leq t \leq \mathit{4} \right) \\ - \frac{32 a}{e ^{4}} & ( t > \mathit{4} ) \end{cases}}$ 조건 (다)에 의하여 $\displaystyle \int _{1} ^{5} {\left\{ e ^{t} \times m \left( t \right) \right\} dt}$$\displaystyle = \int _{2} ^{4} {\left( - at ^{3} + 2 at ^{2} \right) dt} + \int _{4} ^{5} {\left( - \frac{32 a}{e ^{4}} e ^{t} \right) dt}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{a}{4} t ^{4} + \frac{2 a}{3} t ^{3} \right] _{2} ^{4} + \left[ - \frac{32 a}{e ^{4}} e ^{t} \right] _{4} ^{5}$ $\displaystyle = \frac{28 a}{3} - 32 ae = \frac{7}{3} - 8 e$ $\therefore$ $\displaystyle a = \frac{1}{4}$ 따라서 $\displaystyle f \left( k + 1 \right) = f \left( 3 \right) = \frac{45}{4} e ^{3}$이고, $p + q = 49$