대수삼각함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

최대 넓이보다 1 작은 부채꼴의 중심각

문제

둘레의 길이가 2020인 부채꼴의 넓이의 최댓값을 MM이라 하자. 둘레의 길이가 2020이고 넓이가 M−1M - 1인 부채꼴의 중심각의 크기를 모두 더한 값을 구하시오. [4점]

정답 보기
13 over 3

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

부채꼴의 반지름의 길이를 rr, 중심각의 크기를 θ\theta라 하면 둘레의 길이가 2020이므로 2r+rθ=202 r + r \theta = 20에서 rθ=20−2rr \theta = 20 - 2 r (단, 0<r<100 < r < 10) 부채꼴의 넓이 SS는 S=12r(20−2r)=−r2+10r=−(r−5)2+25\displaystyle S = \frac{1}{2} r ( 20 - 2 r ) = - r ^{2} + 10 r = - ( r - 5 ) ^{2} + 25 이므로 M=25M = 25 넓이가 M−1=24M - 1 = 24이면 −r2+10r=24- r ^{2} + 10 r = 24 r2−10r+24=0r ^{2} - 10 r + 24 = 0, (r−4)(r−6)=0( r - 4 ) ( r - 6 ) = 0에서 r=4r = 4 또는 r=6r = 6 r=4r = 4일 때 θ=20−84=3\displaystyle \theta = \frac{20 - 8}{4} = 3, r=6r = 6일 때 θ=20−126=43\displaystyle \theta = \frac{20 - 12}{6} = \frac{4}{3} 두 값 모두 0<θ<2π0 < \theta < 2 \pi를 만족시킨다. 따라서 구하는 값은 3+43=133\displaystyle 3 + \frac{4}{3} = \frac{13}{3}

태그

#부채꼴의 넓이#최댓값#이차방정식

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 삼각함수 문제 모음내신 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로