공통수학2함수AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

치역이 주어진 이차함수의 정의역 범위

문제

정의역이 {x∣−1≤x≤k}\left\{ x \left| - 1 \leq x \leq k \right\} \right.인 함수 f(x)=−x2+2x+3f ( x ) = - x ^{2} + 2 x + 3의 그래프가 그림과 같다. 함수 ff의 치역이 {y∣0≤y≤4}\left\{ y \left| 0 \leq y \leq 4 \right\} \right.가 되도록 하는 실수 kk의 최댓값과 최솟값의 합은? [3점] ①22②33③44④55⑤66

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③

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해설

f(x)=−(x−1)2+4f ( x ) = - ( x - 1 ) ^{2} + 4이므로 x=1x = 1에서 최댓값 44를 갖는다. 치역의 최댓값이 44이려면 11이 정의역에 속해야 하므로 k≥1k \geq 1 −1≤x≤1- 1 \leq x \leq 1에서 f(x)f ( x )의 값은 f(−1)=0f ( - 1 ) = 0부터 f(1)=4f ( 1 ) = 4까지 모두 나타난다. 치역의 최솟값이 00이려면 1≤x≤k1 \leq x \leq k에서 f(x)≥0f ( x ) \geq 0이어야 하므로 f(k)=−(k−1)2+4≥0f ( k ) = - ( k - 1 ) ^{2} + 4 \geq 0에서 (k−1)2≤4( k - 1 ) ^{2} \leq 4 k≥1k \geq 1이므로 k−1≤2k - 1 \leq 2, 즉 k≤3k \leq 3 따라서 1≤k≤31 \leq k \leq 3이므로 kk의 최댓값과 최솟값의 합은 3+1=43 + 1 = 4 ③

태그

#치역#정의역#이차함수의 그래프

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