치역 조건을 만족시키는 함수의 개수

실마리: 조건 (나)에 의하여 치역의 원소는 모두 자기 자신에 대응하므로, 치역에 속하지 않는 두 원소의 함숫값만 정하면 된다. 함수 $f$의 치역을 $R$라 하고, $X$의 원소 중 $R$에 속하지 않는 두 원소를 $a$, $b$ $( a < b )$라 하자. 조건 (나)에서 $R$의 원소 $y$는 $f ( y ) = y$이므로 $R$의 원소들의 함숫값의 합은 $R$의 모든 원소의 합 $21 - a - b$이다. 또 $f ( a )$, $f ( b )$는 치역 $R$의 원소이다. 조건 (다)에서 $21 - a - b + f ( a ) + f ( b ) = 27$이므로 $f ( a ) + f ( b ) = a + b + 6$ $f ( a ) \leq 6$, $f ( b ) \leq 6$이므로 $a + b \leq 6$ (ⅰ) $a = 1$, $b = 2$: $R = \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 \right\}$, $f ( 1 ) + f ( 2 ) = 9$ 순서쌍 $( f ( 1 ) , f ( 2 ) )$는 $( 3 , 6 )$, $( 4 , 5 )$, $( 5 , 4 )$, $( 6 , 3 )$의 $4$개 (ⅱ) $a = 1$, $b = 3$: $R = \left\{ 2 , 4 , 5 , 6 \right\}$, $f ( 1 ) + f ( 3 ) = 10$ $( 4 , 6 )$, $( 5 , 5 )$, $( 6 , 4 )$의 $3$개 (ⅲ) $a = 1$, $b = 4$: $R = \left\{ 2 , 3 , 5 , 6 \right\}$, $f ( 1 ) + f ( 4 ) = 11$ $( 5 , 6 )$, $( 6 , 5 )$의 $2$개 (ⅳ) $a = 1$, $b = 5$: $R = \left\{ 2 , 3 , 4 , 6 \right\}$, $f ( 1 ) + f ( 5 ) = 12$ $( 6 , 6 )$의 $1$개 (ⅴ) $a = 2$, $b = 3$: $R = \left\{ 1 , 4 , 5 , 6 \right\}$, $f ( 2 ) + f ( 3 ) = 11$ $( 5 , 6 )$, $( 6 , 5 )$의 $2$개 (ⅵ) $a = 2$, $b = 4$: $R = \left\{ 1 , 3 , 5 , 6 \right\}$, $f ( 2 ) + f ( 4 ) = 12$ $( 6 , 6 )$의 $1$개 각 경우 $R$의 원소는 자기 자신에 대응하므로 치역은 정확히 $R$가 되어 조건 (가)를 만족시킨다. 따라서 함수 $f$의 개수는 $4 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 = 13$