치환적분과 넓이

$\displaystyle \alpha = \int _{0} ^{p} f ( x ) dx$, $\displaystyle \beta = - \int _{p} ^{2p} {}^{2} f ( x ) dx$ $\cdots \cdots$㉠ 이 때,$\displaystyle \int _{0} ^{p} xf ( 2 x ^{2} ) dx$에서 $2 x ^{2} = t$라 하면 $4 xdx = dt$이고, $x = 0$일 때 $t = 0$, $x = p$일 때, $t = 2 p ^{2}$이다. ∴$\displaystyle \int _{0} ^{p} xf ( 2 x ^{2} ) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{2p} {}^{2} f ( t ) \times \frac{1}{4} dt$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \int _{0} ^{2p} {}^{2} f ( t ) dt$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \left\{ \int _{0} ^{p} f ( t ) dt + \int _{p} ^{2p} {}^{2} f ( t ) dt \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} ( \alpha - \beta )$ (∵ ㉠)