공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

치환하는 사차방정식

문제

사차방정식 (x2+x)2+(x2+x)−6=0( x ^{2} + x ) ^{2} + ( x ^{2} + x ) - 6 = 0의 두 실근을 α\alpha, β\beta, 두 허근을 γ\gamma, δ\delta 라 할 때, γδ−αβ\gamma \delta - \alpha \beta 의 값은? [3점] ①22②33③44④55⑤66

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④

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해설

[출제의도] 치환을 이용한 사차방정식의 풀이 이해하기 x2+x=tx ^{2} + x = t로 놓으면 t2+t−6=(t−2)(t+3)=0t ^{2} + t - 6 = ( t - 2 ) ( t + 3 ) = 0 ∴t=2t = 2 또는 t=−3t = - 3 (i) t=2t = 2일 때 x2+x=2x ^{2} + x = 2, x2+x−2=0x ^{2} + x - 2 = 0은 판별식 D=12−4⋅1⋅(−2)=9>0D = 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 ) = 9 > 0이므로 서로 다른 두 실근 α\alpha, β\beta를 갖고 근과 계수와의 관계에서 αβ=−21=−2\displaystyle \alpha \beta = \frac{- 2}{1} = - 2이다. (ii) t=−3t = - 3일 때 x2+x=−3x ^{2} + x = - 3, x2+x+3=0x ^{2} + x + 3 = 0은 판별식 D=12−4⋅1⋅3=−11<0D = 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = - 11 < 0이므로 서로 다른 두 허근 γ\gamma, δ\delta를 갖고 근과 계수와의 관계에서 γδ=31=3\displaystyle \gamma \delta = \frac{3}{1} = 3이다. 따라서 γδ−αβ=3−(−2)=5\gamma \delta - \alpha \beta = 3 - ( - 2 ) = 5

태그

#사차방정식#치환#근과 계수의 관계

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