치환 사차방정식

$2 x ^{2} + kx = X$라 하면 $\left( 2 x ^{2} + kx \right) ^{2} + 10 \left( 2 x ^{2} + kx \right) + 16 = 0$에서 $X ^{2} + 10 X + 16 = 0$, $\left( X + 2 \right) \left( X + 8 \right) = 0$ $\left( 2 x ^{2} + kx + 2 \right) \left( 2 x ^{2} + kx + 8 \right) = 0$ 모든 실수 $x$에 대하여 $\left( 2 x ^{2} + kx + 2 \right) - \left( 2 x ^{2} + kx + 8 \right) = - 6 \neq 0$이므로 연립방정식 $\displaystyle \begin{cases} 2 x ^{2} + kx + 2 = 0 \\ 2 x ^{2} + kx + 8 = 0 \end{cases}$ 의 실근은 존재하지 않는다. $\cdots \cdots$㉠ 두 이차방정식 $2 x ^{2} + kx + 2 = 0$, $2 x ^{2} + kx + 8 = 0$의 판별식을 각각 $D _{1}$, $D _{2}$라 하면 $D _{1} = k ^{2} - 4 \times 2 \times 2 = k ^{2} - 16$, $D _{2} = k ^{2} - 4 \times 2 \times 8 = k ^{2} - 64$ 이므로 $D _{1} > D _{2}$ ㉠에 의하여 사차방정식 $\left( 2 x ^{2} + kx \right) ^{2} + 10 \left( 2 x ^{2} + kx \right) + 16 = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$이기 위해서는 $D _{1} > 0$, $D _{2} < 0$이어야 한다. $D _{1} = k ^{2} - 16 > 0$에서 $k < - 4$ 또는 $k > 4$, $D _{2} = k ^{2} - 64 < 0$에서 $- 8 < k < 8$ 그러므로 $- 8 < k < - 4$ 또는 $4 < k < 8$ 따라서 구하는 모든 자연수 $k$의 값의 합은 $5 + 6 + 7 = 18$