대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

치환 지수함수 최대최소

문제

x≤3x \leq 3에서 정의된 함수 f(x)=22x−2x+2+6f \left( x \right) = 2 ^{2 x} - 2 ^{x + 2} + 6의 최댓값과 최솟값의 합은? [3점] ①3232②3636③4040④4444⑤4848

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③

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해설

함수 y=22x−2x+2+6y = 2 ^{2 x} - 2 ^{x + 2} + 6에서 2x=t2 ^{x} = t라 하면 x≤3x \leq 3에서 0<t≤80 < t \leq 8이고 y=t2−4t+6y = t ^{2} - 4 t + 6이다. yy=t2−4t+6= t ^{2} - 4 t + 6 =(t−2)2+2= \left( t - 2 \right) ^{2} + 2 는 t=2t = 2일 때 최솟값은 22, t=8t = 8일 때 최댓값은 3838이다. 따라서 2+38=402 + 38 = 40

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#지수함수#치환#최대최소

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