치환 정적분 함수

$\displaystyle \int _{0} ^{2} x f ( tx ) dx = 4 t ^{2}$에서 $tx = y$로 놓으면 $\displaystyle t = \frac{dy}{dx}$에서 $\displaystyle dx = \frac{dy}{t}$ $x = 0$일 때, $y = 0$ $x = 2$일 때, $y = 2 t$ 이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{2} x f ( tx ) dx = \int _{0} ^{2t} \frac{y}{t} f ( y ) \frac{dy}{t}$ $\displaystyle = \frac{1}{t ^{2}} \int _{0} ^{2t} yf ( y ) dy$$= 4 t ^{2}$ ∴ $\displaystyle \int _{0} ^{2t} y f ( y ) dy = 4 t ^{4}$ 양변을 $t$에 관하여 미분하면 $2 t f ( 2 t ) \times ( 2 t )' = 16 t ^{3}$ ∴ $f ( 2 t ) = 4 t ^{2}$ ∴ $f ( 2 ) = 4$