공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

치환 인수분해

문제

$2$ 이상의 네 자연수 $a , b , c , d$ 에 대하여 $\left( 14 ^{2} + 2 \times 14 \right) ^{2} - 18 \times \left( 14 ^{2} + 2 \times 14 \right) + 45 = a \times b \times c \times d$ 일 때, $a + b + c + d$ 의 값은? [4점] ① $56$ ② $58$ ③ $60$ ④ $62$ ⑤ $64$

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③

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해설

[출제의도] 인수분해를 활용하여 문제해결하기 $14 = X$ 라 하면 $\left( 14 ^{2} + 2 \times 14 \right) ^{2} - 18 \times \left( 14 ^{2} + 2 \times 14 \right) + 45$ $= \left( X ^{2} + 2 X \right) ^{2} - 18 \left( X ^{2} + 2 X \right) + 45$ $= \left( X ^{2} + 2 x - 3 \right) \left( X ^{2} + 2 X - 15 \right)$ $= \left( X - 1 \right) \left( X + 3 \right) \left( X - 3 \right) \left( X + 5 \right)$ $X = 14$ 를 대입하면 $\left( 14 - 1 \right) \times \left( 14 + 3 \right) \times \left( 14 - 3 \right) \times \left( 14 + 5 \right)$ $= 13 \times 17 \times 11 \times 19$ $a + b + c + d = 60$

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