치환 부분적분

[출제의도] 정적분 이해하기 $x ^{2} = t$라 하면 $\displaystyle 2 x = \frac{dt}{dx}$이고 $x = 1$일 때 $t = 1$, $x = n$일 때 $t = n ^{2}$이므로 $\displaystyle f \left( n \right) = \int _{1} ^{n} {\left( x ^{2} e ^{x ^{2}} \times x \right)} dx = \int _{1} ^{n ^{2}} {\frac{1}{2} te ^{t}} dt$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left[ te ^{t} - e ^{t} \right] _{1} ^{n ^{2}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( n ^{2} e ^{n ^{2}} - e ^{n ^{2}} \right)$ $\displaystyle = \frac{e ^{n ^{2}}}{2} \left( n ^{2} - 1 \right)$ 따라서 $\displaystyle \frac{f \left( 5 \right)}{f \left( 3 \right)} = \frac{12 \times e ^{25}}{4 \times e ^{9}} = 3 e ^{16}$