공통수학1나머지정리와 인수분해AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

차분 조건으로 다항식 구하는 빈칸

문제

다음은 모든 실수 $x$ 에 대하여 $P ( x + 1 ) - P ( x ) = 2 x$ 를 만족시키고 $P ( 0 ) = 1$ 인 다항식 $P ( x )$ 를 구하는 과정이다.

$P ( x )$ 의 차수를 $n$ 이라 하면 $P ( x + 1 ) - P ( x )$ 의 차수는 $n - 1$ 이고 $2 x$ 의 차수는 $1$ 이므로 $n =$ (가) $P ( x ) = ax ^{2} + bx + c$ ( $a \neq 0$ ) 라 하면 $P ( x + 1 ) - P ( x ) = 2 ax + ( a + b )$ 이 식이 $2 x$ 와 $x$ 에 대한 항등식이므로 $a =$ (나), $b =$ (다) 또 $P ( 0 ) = 1$ 에서 $c = 1$

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수의 합은? [4점] ① $0$ ② $1$ ③ $2$ ④ $3$ ⑤ $4$

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③

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해설

$n - 1 = 1$ 이므로 $n = 2$ , 즉 (가) $= 2$ $P ( x + 1 ) - P ( x ) = a ( x + 1 ) ^{2} + b ( x + 1 ) + c - ( ax ^{2} + bx + c ) = 2 ax + a + b$ $2 ax + ( a + b ) = 2 x$ 가 $x$ 에 대한 항등식이므로 $2 a = 2$ , $a + b = 0$ $a = 1$ , $b = - 1$ , 즉 (나) $= 1$ , (다) $= - 1$ 검산: $P ( x ) = x ^{2} - x + 1$ 이면 $P ( x + 1 ) - P ( x ) = ( x + 1 ) ^{2} - ( x + 1 ) - x ^{2} + x = 2 x$ , $P ( 0 ) = 1$ 따라서 $2 + 1 + ( - 1 ) = 2$ 이므로 답은 ③이다.

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