미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

변곡점과 역함수 조건

문제

양수 aa와 실수 bb에 대하여 함수 f(x)=ae3x+bexf \left( x \right) = ae ^{3 x} + be ^{x}이 다음 조건을 만족시킬 때, f(0)f \left( 0 \right)의 값은? [4점]

(가) x1<ln⁡23<x2\displaystyle x _{1} < \ln \frac{2}{3} < x _{2}를 만족시키는 모든 실수 x1,x2x _{1} , x _{2}에 대하여 f′′(x1)f′′(x2)<0f'' \left( x _{1} \right) f'' \left( x _{2} \right) < 0이다. (나) 구간 [k,∞)\left[ k , \infty \right)에서 함수 f(x)f \left( x \right)의 역함수가 존재하도록 하는 실수 kk의 최솟값을 mm이라 할 때, f(2m)=−809\displaystyle f \left( 2 m \right) = \mathit{-} \frac{80}{9}이다.

①−15- 15②−12- 12③−9- 9④−6- 6⑤−3- 3

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③

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해설

f(x)f ( x )는 이계도함수가 존재하고 (가)조건에 의해 x=ln⁡23\displaystyle x = \ln \frac{2}{3}에서 이계도함수의 부호가 바뀌므로 f′′(ln⁡23)=0\displaystyle f'' \left( \ln \frac{2}{3} \right) = 0임을 알 수 있다. f′(x)=3ae3x+bexf' ( x ) = 3 ae ^{3 x} + be ^{x} f′′(x)=9ae3x+bexf'' ( x ) = 9 ae ^{3 x} + be ^{x}이고 f′′(ln⁡23)=9ae3ln⁡23+beln⁡23=9a(23)3+23b=83a+23b=0\displaystyle f'' \left( \ln \frac{2}{3} \right) = 9 ae ^{3 \ln \frac{2}{3}} + be ^{\ln \frac{2}{3}} = 9 a \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} + \frac{2}{3} b = \frac{8}{3} a + \frac{2}{3} b = 0 이므로 b=−4ab = - 4 a⋯⋯㉠. 또한 (나) 조건에 의해 f(x)f ( x )의 역함수가 존재하도록 하는 실수 kk의 최솟값은 f′(x)=0f' ( x ) = 0일 때 이므로 f′(m)=0f' ( m ) = 0을 만족하고 f′′(x)=−809\displaystyle f'' ( x ) = - \frac{80}{9}를 이용하여 식을 정리하면 f′(m)=3ae3m+bemf' ( m ) = 3 ae ^{3 m} + be ^{m}이므로 3ae3m+bem=03ae2m+b=0\begin{aligned} 3 ae ^{3 m} + be ^{m} = 0 \\ 3 ae ^{2 m} + b = 0 \end{aligned} e2m=−b3a\displaystyle e ^{2 m} = - \frac{b}{3 a}⋯⋯㉡ f(2m)=−809\displaystyle f ( 2 m ) = - \frac{80}{9} ae6m+be2m=−809\displaystyle ae ^{6 m} + be ^{2 m} = - \frac{80}{9}⋯⋯㉢ ㉠,㉡,㉢을 연립하면 a=3,b=−12a = 3 , b = - 12이므로 f(x)=3e3x−12exf ( x ) = 3 e ^{3 x} - 12 e ^{x}이므로 f(0)=−9f ( 0 ) = - 9

태그

#변곡점#역함수 존재#지수함수

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