미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

변곡점 접선 기울기

문제

곡선 y=(ln⁡x)2−x+1y = ( \ln x ) ^{2} - x + 1의 변곡점에서의 접선의 기울기는? [3점] ①1e−1\displaystyle \frac{1}{e} - 1②2e−1\displaystyle \frac{2}{e} - 1③1e\displaystyle \frac{1}{e}④2e+1\displaystyle \frac{2}{e} + 1⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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②

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해설

[출제의도] 변곡점을 이해하여 접선의 기울기를 구한다. y=(ln⁡x)2−x+1y = \left( \ln x \right) ^{2} - x + 1에서 y′=2ln⁡xx−1\displaystyle y' = \frac{2 \ln x}{x} - 1 y′′=2−2ln⁡xx2\displaystyle y'' = \frac{2 - 2 \ln x}{x ^{2}} 2−2ln⁡x=02 - 2 \ln x = 0에서 x=ex = e이고 x=ex = e의 좌우에서 y′′y''의 부호가 바뀌므로 곡선 y=(ln⁡x)2−x+1y = \left( \ln x \right) ^{2} - x + 1은 x=ex = e에서 변곡점 (e,2−e)( e , 2 - e )를 갖는다. 따라서 변곡점에서의 접선의 기울기는 2ln⁡ee−1=2e−1\displaystyle \frac{2 \ln e}{e} - 1 = \frac{2}{e} - 1

태그

#변곡점#접선

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