공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

분수식 빈칸 채우기

문제

다음은 실수 aa, bb에 대하여 1a−1b=1a+b\displaystyle \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b}일 때, ba+ab\displaystyle \frac{b}{a} + \frac{a}{b}의 값을 구하는 과정이다. (단, ab≠0ab \ne 0, a+b≠0a + b \ne 0)

1a−1b=1a+b\displaystyle \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b}을 통분하여 정리하면 (a+b)(b−a)=( a + b ) ( b - a ) =(가)

a2+ab−b2=0a ^{2} + ab - b ^{2} = 0 양변을 b2b ^{2}으로 나누면 (ab)2+ab−1=0\displaystyle {\left( \frac{a}{b} \right)} ^{2} + \frac{a}{b} - 1 = 0 ∴ ab=\displaystyle \frac{a}{b} = (나)

따라서 ba+ab=\displaystyle \frac{b}{a} + \frac{a}{b} = (다)

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)(나)(다)
①abab−1±52\displaystyle \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}±5\displaystyle \pm \sqrt{5}
② abab1±52\displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}±5\displaystyle \pm \sqrt{5}
③ abab−1±52\displaystyle \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}−1- 1
④−ab- ab1±52\displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}11
⑤−ab- ab−1±52\displaystyle \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}−1- 1
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①

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근 구하기 1a−1b=1a+b\displaystyle \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b}을 통분하여 정리하면 (a+b)(b−a)=( a + b ) ( b - a ) =

a2+ab−b2=0a ^{2} + ab - b ^{2} = 0 양변을 b2b ^{2}으로 나누면 (ab)2+ab−1=0\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right) ^{2} + \frac{a}{b} - 1 = 0에서 근의 공식을 이용하면 ∴\thereforeab=\displaystyle \frac{a}{b} =□−1±52\displaystyle {\square {\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}}} 이고 ba=1±52\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} ∴\thereforeba+ab=□±5\displaystyle \frac{b}{a} + \frac{a}{b} = {\square {\pm \sqrt{5}}}

태그

#근의 공식#빈칸 추론

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