대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

분수꼴 점화식 빈칸

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=1a _{1} = 1이고, an+1=3an−14an−1(n≥1)\displaystyle a _{n+1} = \frac{3 a _{n} - 1}{4 a _{n} - 1} ( n \geq 1 ) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정의 일부이다.

모든 자연수 nn에 대하여 4an+1−1=4×3an−14an−1−1=2−14an−1\displaystyle 4 a _{n+1} - 1 = 4 \times \frac{3 a _{n} - 1}{4 a _{n} - 1} - 1 = 2 - \frac{1}{4 a _{n} - 1} 이다. 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}을 b1=1b _{1} = 1, bn+1=(4an−1)bn(n≥1)⋯⋯(∗)b _{n+1} = \left( 4 a _{n} - 1 \right) b _{n} ( n \geq 1 ) \cdots \cdots ( * ) 이라 하면, ⋮\vdots bn+2−bn+1=bn+1−bnb _{n+2} - b _{n+1} = b _{n+1} - b _{n}이다. 즉, {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 등차수열이므로 (∗)( * )에 의하여 bn=□(가)b _{n} = \square {( \text{가} )}이고, an=□(나)a _{n} = \square {( \text{나} )}이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 할 때, f(14)×g(5)f ( 14 ) \times g ( 5 )의 값은? [4점] ①1515②1616③1717④1818⑤1919

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①

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해설

[출제의도] 수열의 일반항을 구할 수 있는가? b2=(4a1−1)b1=3b _{2} = ( 4 a _{1} - 1 ) b _{1} = 3이므로 bn+2−bn+1=bn+1−bn=⋯=b2−b1=2b _{n+2} - b _{n+1} = b _{n+1} - b _{n} = \cdots = b _{2} - b _{1} = 2 따라서 등차수열 {bnb _{n}}은 첫째항이 1이고 공차가 2이므로 bn=2n−1b _{n} = 2 n - 1 따라서 bn+1=2n+1b _{n+1} = 2 n + 1이므로 (*)에서 2n+1=(4an−1)(2n−1)2 n + 1 = ( 4 a _{n} - 1 ) ( 2 n - 1 ) ∴ an=14(2n+12n−1+1)=n2n−1\displaystyle a _{n} = \frac{1}{4} \left( \frac{2 n + 1}{2 n - 1} + 1 \right) = \frac{n}{2 n - 1} 따라서 f(n)=2n−1f ( n ) = 2 n - 1, g(n)=n2n−1\displaystyle g ( n ) = \frac{n}{2 n - 1}이므로 f(14)×g(5)=27×59=15\displaystyle f ( 14 ) \times g ( 5 ) = 27 \times \frac{5}{9} = 15

태그

#점화식#빈칸 추론

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