분수꼴 구간별 함수 극값

조건(가)에서 $g ( x )$는 실수 전체에서 연속이므로 $x = 0$, $x = 2$에서 극한값과 함숫값이 같아야 되고 $g ( 0 ) \ne 0$이면 $f ( 0 ) \ne 0$이어야 된다. $x = 0$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {g ( x )} = - f ( 0 )$이고 $g ( 0 ) = f ( 0 )$이므로 $- f ( 0 ) = f ( 0 )$ $\therefore$ $f ( 0 ) = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ $x = 2$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {g ( x )} = f ( 2 )$이고 $g ( 2 ) = f ( 2 )$이므로 $f ( 2 ) = f ( 2 )$ $x = 2$에서 항상 연속이다. $\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} f ( x ) & & & ( 0 \leq x \leq 2 ) \\ \frac{f ( x )}{x - 1} & & & ( x < 0 \text{또는} x > 2 ) \end{cases}$ $\displaystyle g' ( x ) = \begin{cases} f' ( x ) & & & ( 0 \leq x \leq 2 ) \\ \frac{f' ( x ) ( x - 1 ) - f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}} & & & ( x < 0 \text{또는} x > 2 ) \end{cases}$ $x = 0$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {g' ( x )} = f' ( 0 )$이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {g' ( x )} = - f' ( 0 ) - f ( 0 ) = - f' ( 0 )$ $( \because f ( 0 ) \ne 0 )$ $x = 2$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {g' ( x )} = f' ( 2 ) - f ( 2 )$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {g' ( x )} = f' ( 2 )$ $f' ( 2 ) - f ( 2 ) \ne f' ( 2 )$ $( \because f ( 2 ) \ne 0 )$ 따라서 $x = 2$에서 미분불가능하다. 조건(나)에서 $x = a$에 미분불가능한 $x$값이 $1$개이므로 $x = 0$에서 미분불가능해야 된다. $\therefore$ $f' ( 0 ) = - f' ( 0 )$ $\therefore$ $f' ( 0 ) = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의해 $f ( x ) = x ^{2} ( x - \alpha )$ $( \alpha \ne 0 )$ 조건 (다)에 따라 $g ( k ) = 0$이면 $f ( k ) = 0$이다. 이때 $k = 0$ 또는 $k = \alpha$인데 $g' ( 0 ) = 0$이므로 $k = \alpha$이어야 한다. (ⅰ) $0 \leq \alpha \leq 2$일 때, $\displaystyle f' ( \alpha ) = {\frac{16}{3}}$, $\displaystyle \alpha ^{2} = \frac{16}{3}$, $\therefore$ $\displaystyle \alpha = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ $\alpha > 2$이므로 모순 (ⅱ) $\alpha < 0$, $2 < \alpha$일 때 $\displaystyle \frac{( \alpha - 1 ) f' ( \alpha )}{( \alpha - 1 ) ^{2}} = \frac{\alpha ^{2}}{( \alpha - 1 ) ^{2}} = \frac{16}{3}$ $\therefore$ $3 \alpha ^{2} - 16 \alpha + 16 = 0$ $\therefore$ $\alpha = 4$ $\therefore$ $f ( x ) = x ^{2} ( x - 4 )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {g' ( x )} < 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {g' ( x )} > 0$이므로 $x = 2$에서 극솟값을 갖는다. $\therefore$ $g ( 2 ) = - 8$, $p = - 8$ $\therefore$ $p ^{2} = 64$