분수함수 연속 조건

[출제의도] 함수의 연속 이해하기 이차함수 $g ( x )$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 함수 $f ( x )$는 실수 전체의 집합에서 $f \left( x \right) > 0$이고, $x = 2$에서만 불연속이다. 따라서 함수 $\displaystyle \frac{g ( x )}{f ( x )}$가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 $x = 2$에서만 연속이면 된다. $\displaystyle \frac{g ( 2 )}{f ( 2 )} =$$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{g ( x )}{f ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{g ( x )}{f ( x )}}}$ $\displaystyle \frac{g ( 2 )}{f ( 2 )}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{g \left( x \right)}{x - 2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{g \left( x \right)}{x ^{2} - 4 x + 5}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{g \left( x \right)}{x - 2}}$가 존재하고 $\left( \text{분모} \right) \rightarrow 0$이므로 $\left( \text{분자} \right) \rightarrow 0$이다. 따라서 $g \left( 2 \right) = 0$이다. 따라서 이차함수 $g \left( x \right)$를 $g \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( x + a \right)$ 라고 하자. $\displaystyle \frac{g ( 2 )}{f ( 2 )} = \frac{g \left( 2 \right)}{1} = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{g \left( x \right)}{x ^{2} - 4 x + 5}} = \frac{g \left( 2 \right)}{1} = 0$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{g \left( x \right)}{x - 2}} = 0$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{\left( x - 2 \right) \left( x + a \right)}{x - 2}} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\left( x + a \right)} = 2 + a = 0$이다. $\therefore a = - 2$ 따라서 $g \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2}$이므로 $g \left( 5 \right) = 3 ^{2} = 9$이다.