분수함수 미분가능 조건

[출제의도] 미분법을 활용하여 함수 추론하기 $f \left( x \right) \ne 0$일 때 $\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{\pi \left( \sin \pi x \right) f \left( x \right) - \left( 1 - \cos \pi x \right) f' \left( x \right)}{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2}}$ $f \left( 0 \right) \ne 0$이면 $g' \left( 0 \right) = 0$이 되어 조건 (가)에 모순이므로 $f \left( 0 \right) = 0$이고 $\displaystyle g \left( 0 \right) = \frac{7}{128} \pi ^{2}$ 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 0$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {g \left( x \right)} = \frac{7}{128} \pi ^{2}$ ……㉠ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{1 - \cos \pi x}{f \left( x \right)}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{\sin ^{2} \pi x}{f \left( x \right) \left( 1 + \cos \pi x \right)}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left\{ \left( \frac{\sin \pi x}{\pi x} \right) ^{2} \times \frac{\left( \pi x \right) ^{2}}{f \left( x \right)} \times \frac{1}{1 + \cos \pi x} \right\}}$ $\displaystyle = \frac{7}{128} \pi ^{2}$ 이므로 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $h \left( x \right)$에 대하여 $f \left( x \right) = kx ^{2} h \left( x \right)$ ……㉡ ($k$는 $k \ne 0$인 상수, $h \left( 0 \right) \ne 0$)이라 하자. 함수 $f \left( x \right)$가 $x = a$에서 극댓값을 가지므로 $f' \left( a \right) = 0$이다. $f \left( a \right) = 0$이라 가정하면 $f \left( x \right) = kx ^{2} \left( x - a \right) ^{2}$이고 $k > 0$일 때 함수 $f \left( x \right)$가 $x = a$에서 극솟값을 가지므로 모순이고, $k < 0$일 때 $f \left( 1 \right) \leq 0$이므로 $\displaystyle g \left( 1 \right) = \frac{2}{7}$라는 조건에 모순이다. 그러므로 $f \left( a \right) \ne 0$이다. 함수 $g \left( x \right)$가 $x = a$에서 극값을 가지므로 $\displaystyle g' \left( a \right) = \frac{\pi \left( \sin a \pi \right) f \left( a \right)}{\left\{ f \left( a \right) \right\} ^{2}} = 0$ $\sin a \pi = 0$이고 $\sin 2 a \pi = 0$, $\cos 2 a \pi = 1$ ……㉢ $f \left( 2 a \right) \ne 0$이면 $\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{\pi \left( \sin \pi x \right) f \left( x \right) - \left( 1 - \cos \pi x \right) f' \left( x \right)}{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2}}$에서 $g' \left( 2 a \right) = 0$이 되어 조건 (가)에 모순이므로 $f \left( 2 a \right) = 0$이다. ㉡에서 $f \left( x \right) = kx ^{2} \left( x - 2 a \right) \left( x - b \right)$라 하면 $f' \left( a \right) = ka ^{2} \left( b - 2 a \right) = 0$이므로 $b = 2 a$이고 $f \left( x \right) = kx ^{2} \left( x - 2 a \right) ^{2}$ 함수 $f \left( x \right)$는 $x = a$에서 극대이므로 $k > 0$ ㉠에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{1 - \cos \pi x}{kx ^{2} \left( x - 2 a \right) ^{2}} = \frac{7}{128} \pi ^{2}}$ $\displaystyle ka ^{2} = \frac{16}{7}$ ……㉣ $\displaystyle g \left( 1 \right) = \frac{2}{7}$에서 $k \left( 1 - 2 a \right) ^{2} = 7$ ……㉤ ㉣, ㉤에서 $\displaystyle \frac{7 a ^{2}}{16} = \frac{\left( 1 - 2 a \right) ^{2}}{7}$이므로 $\displaystyle a = \frac{4}{15}$ 또는 $a = 4$ ㉢에 의하여 $a = 4$이고 $\displaystyle k = \frac{1}{7}$이다. $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} \frac{7 \left( 1 - \cos \pi x \right)}{x ^{2} \left( x - 8 \right) ^{2}} ( x \ne 0 \text{이고} x \ne 8 ) & \\ \frac{7}{128} \pi ^{2} ( x = 0 \text{또는} x = 8 ) & \end{cases}}$ $\displaystyle g \left( - 1 \right) = \frac{14}{81}$ 따라서 $p + q = 95$