분수 꼴 함수의 연속

출제의도 : 함수 $\displaystyle \frac{\mathbf{\mathrm{g} \mathit{\left( x \right)}}}{\mathbf{f \left( x \right)}}$가 실수 전체의 집합에서 연속일 조건을 구할 수 있는가? $x < 2$일 때, $f \left( x \right) = x ^{2} - 4 x + 6$$= \left( x - 2 \right) ^{2} + 2 > 0$ $x \geq 2$일 때, $f \left( x \right) = 1 > 0$ 이므로 함수 $f \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 $f \left( x \right) > 0$이다. 그런데, $f \left( x \right)$는 $x = 2$에서만 연속이 아니므로 함수 $\displaystyle \frac{{\mathrm{g}} \left( x \right)}{f \left( x \right)}$가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 $x = 2$에서 연속이면 된다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{{\mathrm{g}} \left( x \right)}{f \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{ax + 1}{x ^{2} - 4 x + 6} = \frac{2 a + 1}{2}}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{{\mathrm{g}} \left( x \right)}{f \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{ax + 1}{1} = 2 a + 1}}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{g} \mathit{\left( 2 \right)}}{f \left( 2 \right)} = 2 a + 1$ 에서 $\displaystyle \frac{2 a + 1}{2} = 2 a + 1$이므로 $2 a + 1 = 4 a + 2$, $2 a = - 1$ 따라서 $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$이다.