분수 점화식 빈칸

(*)에서 $a _{n+1} + 2$$\displaystyle = - \frac{3 a _{n} + 2}{a _{n}} + 2 = - \frac{a _{n} + {\square {2}}}{a _{n}} ( n \geq 1 )$ ⋯⋯ ㉠ 이다. 여기서 $\displaystyle b _{n} = \frac{1}{a _{n} + 2}$ ($n \geq 1$) 이라 하면 $\displaystyle a _{1} = - \frac{5}{3}$이므로 $\displaystyle b _{1} = \frac{1}{- \frac{5}{3} + 2} = 3$이고 $b _{n+1}$$\displaystyle = \frac{1}{a _{n+1} + 2}$$\displaystyle = - \frac{a _{n}}{a _{n} + 2}$(∵ ㉠) $\displaystyle = - \frac{( a _{n} + 2 ) - 2}{a _{n} + 2}$ $\displaystyle = - 1 + \frac{2}{a _{n} + 2}$ $= 2 b _{n} -$ ($n \geq 1$) 이다. $b _{n+1} - 1$$= 2 b _{n} - 2$$= 2 ( b _{n} - 1 )$ 이므로 수열 $\left\{ b _{n} - 1 \right\}$은 첫째항이 $b _{1} - 1$$= 2$이고 공비가 $2$인 등비수열이다. ∴ $b _{n} - 1 = 2 ^{n}$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 일반항은 $b _{n} =$ $2 ^{n} + 1$ ($n \geq 1$) 이므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2 ^{n} + 1} - 2 ( n \geq 1 )$ 이다. ∴ $p$$= 2$, $q$$= 1$, $f ( n )$$= 2 ^{n} + 1$ ∴ $p \times q \times f ( 5 )$$= 2 \times 1 \times \left( 2 ^{5} + 1 \right)$$= 66$