불연속과 미분불가능

실수 $t$에 대하여 $f \left( t \right) > 0$이면 $g \left( x \right) = f \left( x \right) + x$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = t$에서 연속이고 미분가능하다. $f \left( t \right) < 0$이면 $g \left( x \right) = 2 f \left( x \right)$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = t$에서 연속이고 미분가능하다. $f \left( t \right) = 0$이면 아래와 같이 경우를 나누어 생각할 수 있다. ∙ $x = t$의 좌우에서 $f \left( x \right)$의 부호가 서로 다른 경우 $g \left( t \right) = f \left( t \right) + t = t$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow t -} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow t -} {} \left\{ f \left( x \right) + x \right\} = f \left( t \right) + t = t$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow t +} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow t +} {} 2 f \left( x \right) = 2 f \left( t \right) = 0$ 또는 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow t -} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow t -} {} 2 f \left( x \right) = 2 f \left( t \right) = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow t +} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow t +} {} \left\{ f \left( x \right) + x \right\} = f \left( t \right) + t = t$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $t = 0$이면 $x = t$에서 연속이고 $t \ne 0$이면 $x = t$에서 불연속이다. ∙ $x = t$의 좌우에서 $f \left( x \right)$의 부호가 모두 양인 경우 $g \left( t \right) = f \left( t \right) + t = t$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow t} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow t} {} \left\{ f \left( x \right) + x \right\} = f \left( t \right) + t = t$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = t$에서 연속이다. ∙ $x = t$의 좌우에서 $f \left( x \right)$의 부호가 모두 음인 경우 $g \left( t \right) = f \left( t \right) + t = t$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow t} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow t} {} 2 f \left( x \right) = 2 f \left( t \right) = 0$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $t = 0$이면 $x = t$에서 연속, $t \ne 0$이면 $x = t$에서 불연속이다. $f \left( x \right) = 0$을 만족시키는 실근의 개수가 $\mathrm{1}$이면 함수 $g \left( x \right)$가 $x = t$에서 미분가능하지 않은 $t$의 개수가 $\mathrm{1}$ 이하이므로 (나)를 만족시키지 않는다. $f \left( x \right) = 0$을 만족시키는 서로 다른 실근의 개수가 $\mathrm{3}$이면 $\mathrm{0}$이 아닌 서로 다른 실근의 개수가 $\mathrm{2}$ 이상이고 함수 $g \left( x \right)$가 $x = t$에서 불연속인 $t$의 개수가 $\mathrm{2}$ 이상이므로 (가)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $f \left( x \right) = 0$을 만족시키는 서로 다른 실근의 개수는 $\mathrm{2}$이고 $a < b$인 두 실수 $a$, $b$가 존재하여 $f \left( x \right) = \left( x - a \right) \left( x - b \right) ^{2}$ 또는 $f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{2} \left( x - b \right)$ (ⅰ) $f \left( x \right) = \left( x - a \right) \left( x - b \right) ^{2}$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{g \left( b + h \right) - g \left( b \right)}{h} = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{\left( b + h - a \right) h ^{2} + h}{h} = 1$ $g' \left( b \right) = 1$이며 함수 $g \left( x \right)$가 $x = t$에서 미분가능하지 않은 실수 $t$의 개수가 $\mathrm{1}$ 이하이므로 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{2} \left( x - b \right)$, $a \ne 0$, $b \ne 0$인 경우함수 $g \left( x \right)$가 $x = a$, $x = b$에서 불연속이므로 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{2} \left( x - b \right)$, $a = 0$, $b \ne 0$인 경우$x = a$에서 연속이며 $g \left( a \right) = f \left( a \right) + a = 0$이다. $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{g \left( a + h \right) - g \left( a \right)}{h} = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{2 h ^{2} \left( a + h - b \right)}{h} = 0$ $g' \left( a \right) = 0$이므로 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅳ) $f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{2} \left( x - b \right)$, $a \ne 0$, $b = 0$인 경우 함수 $g \left( x \right)$는 $x = a$에서 불연속이며 미분가능하지 않다. $x = b$에서 연속이며 $g \left( b \right) = f \left( b \right) + b = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {} \frac{g \left( b + h \right) - g \left( b \right)}{h} = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {} \frac{2 h \left( h - a \right) ^{2}}{h} = 2 a ^{2}$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( b + h \right) - g \left( b \right)}{h}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{\left( h - a \right) ^{2} h + h}{h}$$= a ^{2} + 1$ $2 a ^{2} \ne a ^{2} + 1$, $a ^{2} \ne 1$이면 함수 $g \left( x \right)$는 $x = b$에서 미분가능하지 않다. (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에서 $f \left( x \right) = x \left( x - a \right) ^{2}$, $a < 0$, $a ^{2} \ne 1$ $f \left( - 2 \right) = - 2 \left( - 2 - a \right) ^{2} = - 2$에서 $a = - 3$ 따라서 $f \left( x \right) = x \left( x + 3 \right) ^{2}$이고 $f \left( 6 \right) = 486$