부정적분 조건식

조건 (가)의 $\displaystyle \int _{1} ^{x} {f \left( t \right)} dt = xf \left( x \right) - 2 x ^{2} - 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ 에서 양변을 미분하면 $f \left( x \right) = f \left( x \right) + xf' \left( x \right) - 4 x$, $xf' \left( x \right) = 4 x$ $x \ne 0$인 모든 실수에 대하여 $f' \left( x \right) = 4$ $f' \left( x \right)$는 다항함수이므로 모든 실수에 대하여 $f' \left( x \right) = 4$ $\therefore$ $f \left( x \right) = 4 x + C _{1}$ ($C _{1}$는 적분상수) ㉠의 양변에 $x = 1$을 대입하면 $f \left( 1 \right) = 3$ $\therefore$ $f \left( x \right) = 4 x - 1$ $\displaystyle F \left( x \right) = \int f \left( x \right) dx = 2 x ^{2} - x + a$ ($a$는 적분상수) 조건 (나)에서 $f \left( x \right) G \left( x \right) + F \left( x \right) g \left( x \right)$$= F' \left( x \right) G \left( x \right) + F \left( x \right) G' \left( x \right)$ $= \left\{ F \left( x \right) G \left( x \right) \right\}'$ $= 8 x ^{3} + 3 x ^{2} + 1$ 이므로 $F \left( x \right) G \left( x \right) = 2 x ^{4} + x ^{3} + x + C _{2}$ ($C _{2}$는 적분상수) $F \left( x \right)$, $G \left( x \right)$가 모두 다항함수이고 $F \left( x \right)$가 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수이므로 $G \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이다. $G \left( x \right) = x ^{2} + bx + c$라 하면 $\left( 2 x ^{2} - x + a \right) \left( x ^{2} + bx + c \right) = 2 x ^{4} + x ^{3} + x + C _{2}$ 양변의 $3$차항의 계수를 비교하면 $- 1 + 2 b = 1$에서 $b = 1$ 양변의 $2$차항의 계수를 비교하면 $a - b + 2 c = 0$에서 $a = 1 - 2 c$ 양변의 $1$차항의 계수를 비교하면 $ab - c = 1$에서 $a = 1 + c$ $\therefore$ $a = 1$, $c = 0$, $G \left( x \right) = x ^{2} + x$ $\therefore$ $\displaystyle \int _{1} ^{3} {g \left( x \right)} dx = G \left( 3 \right) - G \left( 1 \right) = 12 - 2 = 10$